übung 6

übung_6/aufgabe_3.tex

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+\section{Perfekte Matchings in bipartiten Graphen}
+\begin{quote}
+	Ein bipartiter Graph $G = \tup{A \cupdot B, E}$ mit $\abs{A} = \abs{B} = k$
+	und jeder Knoten hat mindestens Grad $\frac{k}{2}$ $\iff$ $G$ enthält
+	perfektes Matching.
+\end{quote}
+\begin{itemize}
+	\item[$\seilpmi$] Wenn $G$ ein perfektes Matching enthält, dann muss
+		$\abs{A} = \abs{B}$, sonst würden Knoten übrig bleiben.
+		
+		Außerdem muss jeder Knoten mindestens Grad $1$ haben, da sonst Knoten
+		nicht gematcht werden könnten.
+	\item[$\implies$] Man kann jeden Knoten in $A$ einem
+		Knoten in $B$ zuordnen, da $\abs{A} = \abs{B}$.
+
+		Alle Knoten sind im Matching enthalten. Wenn wir eine Kante zum Matching
+		hinzufügen, verringert sich die Anzahl der offenen Knoten um $2$.
+		Insbesondere verringert sich auch der Grad von $\frac{k}{2} - 1$
+		Knoten um $1$ in $A$ und $B$. Da jeder Knoten mindestens Grad $\frac{k}{2}$ hat und jedes mal 
+		ein offenes Knotenpaar entfernt wird. 
+		$k$ mal eine Kante zum Matching hinzufügen. Also wird jeder Knoten gematcht.
+\end{itemize}
+\points{5}