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\section{Perfekte Matchings in bipartiten Graphen}
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\begin{quote}
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Ein bipartiter Graph $G = \tup{A \cupdot B, E}$ mit $\abs{A} = \abs{B} = k$
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und jeder Knoten hat mindestens Grad $\frac{k}{2}$ $\iff$ $G$ enthält
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perfektes Matching.
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\end{quote}
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\begin{itemize}
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\item[$\seilpmi$] Wenn $G$ ein perfektes Matching enthält, dann muss
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$\abs{A} = \abs{B}$, sonst würden Knoten übrig bleiben.
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Außerdem muss jeder Knoten mindestens Grad $1$ haben, da sonst Knoten
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nicht gematcht werden könnten.
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\item[$\implies$] Man kann jeden Knoten in $A$ einem
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Knoten in $B$ zuordnen, da $\abs{A} = \abs{B}$.
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Alle Knoten sind im Matching enthalten. Wenn wir eine Kante zum Matching
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hinzufügen, verringert sich die Anzahl der offenen Knoten um $2$.
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Insbesondere verringert sich auch der Grad von $\frac{k}{2} - 1$
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Knoten um $1$ in $A$ und $B$. Da jeder Knoten mindestens Grad $\frac{k}{2}$ hat und jedes mal
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ein offenes Knotenpaar entfernt wird.
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$k$ mal eine Kante zum Matching hinzufügen. Also wird jeder Knoten gematcht.
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\end{itemize}
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\points{5}
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