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\section{Chromatische Zahl}
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\begin{tasks}
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\item
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Angenommen der Graph $G$ ist vollständig. So hat jeder Knoten den maximalen
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Knotengrad $\Delta(G)$. Für alle Knoten $v$ gilt, dass jeder adjazente
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Knoten und $v$ eine eigene Farbe haben muss. Das sind also $\Delta(G) + 1$
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viele. Jeder Graph (mit weniger Kanten) hat also eine chromatische Zahl
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$\chi(G) \leq \Delta(G) + 1$.
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\points{2}
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\item
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Für alle Anzahlen an Knoten $n \in \NN$ und Maximalgrad $\Delta < n$ existiert ein
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Graph $G_{n,\Delta}$ mit $\chi(G_{n,\Delta}) = \Delta + 1$. Dieser Graph
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hat eine Clique der Größe $\Delta$.
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\points{2}
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\item
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\begin{align*}
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& \text{Variablen:} & x_1, \dots, x_{n} \in \set{1, \dots, \Delta + 1} \\
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&&\text{Jeder Knoten hat eine Farbe} \\
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& \text{Zielfunktion:} & \argmin \sum_{i=1}^{n} x_i \\
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&&\text{Es werden so wenig Farben wie möglich benutzt} \\
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& \text{Nebenbedingung:} & \forall ab \colon x_a \neq x_b \\
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&&\text{Die Knoten einer Kante haben nicht die selbe Farbe}
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\end{align*}
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\points{2}
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\end{tasks}
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