\section{Chromatische Zahl}
\begin{tasks}
	\item
		Angenommen der Graph $G$ ist vollständig. So hat jeder Knoten den maximalen
		Knotengrad $\Delta(G)$. Für alle Knoten $v$ gilt, dass jeder adjazente
		Knoten und $v$ eine eigene Farbe haben muss. Das sind also $\Delta(G) + 1$
		viele. Jeder Graph (mit weniger Kanten) hat also eine chromatische Zahl
		$\chi(G) \leq \Delta(G) + 1$.
		\points{2}
	
	\item
		Für alle Anzahlen an Knoten $n \in \NN$ und Maximalgrad $\Delta < n$ existiert ein
		Graph $G_{n,\Delta}$ mit $\chi(G_{n,\Delta}) = \Delta + 1$. Dieser Graph
		hat eine Clique der Größe $\Delta$.
		\points{2}
	
	\item
		\begin{align*}
			& \text{Variablen:} & x_1, \dots, x_{n} \in \set{1, \dots, \Delta + 1} \\
			&&\text{Jeder Knoten hat eine Farbe} \\ 
			& \text{Zielfunktion:} & \argmin \sum_{i=1}^{n} x_i \\
			&&\text{Es werden so wenig Farben wie möglich benutzt} \\ 
			& \text{Nebenbedingung:} & \forall ab \colon x_a \neq x_b \\
			&&\text{Die Knoten einer Kante haben nicht die selbe Farbe}
		\end{align*}
		\points{2}

	
\end{tasks}