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TeX
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\section{Längste Wege}
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\begin{tasks}
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\item
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Da $s, t$ in $G'$ adjazent zu jedem Knoten in $G$ ist, können wir
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einen einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k+2$ erzeugen, indem wir
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einen einfachen Weg der Länge $k$ in $G$ nehmen, $s$ an das eine Ende und $t$ an das andere Ende hängen.
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Umgekehrt kann man aus einem einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k$
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in $G'$ einen einfachen Weg der Länge $k-2$ in $G$ konstruieren,
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indem wir $s$ und $t$ entfernen.
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\points{2}
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\item
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Ein Hamiltonweg ist ein Weg der alle Knoten in $G$ beinhaltet
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und somit Länge $n-1$ besitzt.
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Wie wir oben gezeigt haben, kann ein $s$-$t$-Weg der Länge $n+1$
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in $G'$ leicht in einen Weg der Länge $n-1$ in $G$ umgewandelt
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werden. Das heißt, dass wir einen Hamiltonweg in $G$ finden,
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wenn wir einen $s$-$t$-Weg finden.
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Umgekehrt können wir einen Hamiltonweg leicht in einen $s$-$t$-Weg
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umwandeln, also finden wir einen $s$-$t$-Weg wenn wir einen
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Hamiltonweg finden.
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Also finden wir einen Hamiltonweg genau dann, wenn wir einen
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$s$-$t$-Weg finden.
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\points{1}
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\item
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Da wir Hamiltonweg auf \algt{Längster $s$-$t$-Weg} reduziert
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haben, muss also \algt{Längster $s$-$t$-Weg} $\NPe$-schwer sein, denn
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wenn es in $\Pe$ liegen würde, könnten wir auch Hamiltonweg in
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polynomieller Zeit lösen. Da wir nicht von $\Pe = \NPe$ ausgehen,
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ist das nicht möglich.
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\points{2}
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\end{tasks}
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