übungsblatt 7

übung_7/agt_übung_6.tex

@@ -0,0 +1,18 @@
+\documentclass[parskip=half]{ngexrcs}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{subcaption}
+\setkeys{Gin}{pagebox=artbox, width=0.2\textwidth}
+
+\subject{Algorithmische Graphentheorie}
+\title{6. Übungsblatt}
+\author{Jasper Gude \and Pia Röttgers}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\points[2em]{25}
+
+\input{aufgabe_1.tex}
+\input{aufgabe_2.tex}
+\input{aufgabe_3.tex}
+
+\end{document}

übung_7/aufgabe_1.tex

@@ -0,0 +1,58 @@
+\section{LP-Runden}
+\begin{tasks}
+	\item
+		Wir suchen in $U$ nach dem Knoten $v$ mit dem kleinsten $x_v$, unser $\epsilon$,
+		und setzen alle Knoten $u \in U$ auf $x_u - \epsilon$ und alle Knoten $w \in W$
+		auf $\min(x_w~+~\epsilon, 1)$.
+
+		Das macht unsere Beschränkung $x_u + x_w \geq 1$ nicht kaputt, da ein Nachbar $w$ 
+		von einem Knoten $u \in U$ mindestens den Wert $\frac{1}{2} + \epsilon$ hat,
+		also $1$ ist oder in $W$ liegt.
+
+		Somit hat sich $\abs{U} + \abs{W}$ um mindestens $1$ verkleinert, da
+		$x_v$ nun $0$ ist und somit nicht in $U \cup W$ liegt und zu $W$ keine
+		weiteren Knoten dazukommen können.
+
+		Die Veränderungen der Variablen läuft in $\Oh(V)$, da im schlimmsten Fall
+		alle Knoten entweder in $U$ oder in $W$ liegen.
+		\points{4}
+	\item
+		\label{1b}
+		Wir teilen die Knoten $v \in V$ in drei Mengen ein.
+		\begin{align*}
+			A = &\set{v \mid x_v \leq \frac{1}{2}-\epsilon} \\
+			B = &\set{v \mid v \notin A \cup C} \\
+			C = &\set{v \mid x_v \geq \frac{1}{2}+\epsilon}
+		\end{align*}
+		Für alle $v \in A$ setzen wir $x_v = 0$, für alle $v \in B$ setzen wir
+		$x_v = \frac{1}{2}$ und für alle $v \in C$ setzen wir $x_v = 1$.
+		Als $\epsilon$ wählen wir das das kleinste $x_v$.
+
+		Das dürfen wir, da wir damit die LP-Beschränkungen aufrechterhalten.
+		\begin{enumerate}
+			\item Für alle Variablen $x_v$ gilt $0 \leq x_v \leq 1$.
+			\item Für alle Paare $v, u$ gilt $x_v + x_u \geq 1$, da
+				
+				Fall 1: O.B.d.A gilt: Wenn $x_v \leq \frac{1}{2} - \epsilon$, dann muss $x_u \geq \frac{1}{2} + \epsilon$, wird $x_v = 0$ und $x_u = 1$.
+
+				Fall 2: Wenn $x_v$ oder $x_u \geq \frac{1}{2} + \epsilon$, werden
+				$x_v$ oder $x_u = 1$.
+
+				Fall 3: Wenn $x_v, x_u \notin A \cup C$, werden $x_v = x_u = \frac{1}{2}$.
+		\end{enumerate}
+		Die Laufzeit beläuft sich auf $\Oh(V)$ da sich das $\min_{v \in V} x_v$ in
+		$\Oh(V)$ Zeit finden und sich jeder Knoten in $\Oh(V)$ in eine
+		der drei Mengen einteilen lassen kann.
+		\points{3}
+	\item
+		Wir nehmen als Basis den Algorithmus aus \autoref{1b}. Um nun eine
+		eindeutige 2-Approximation für die Knotenüberdeckung zu bekommen,
+		runden wir alle $x_v = \frac{1}{2}$ auf $1$ auf.
+		
+		Dadurch erhalten wir eine Lösung die maximal doppelt so viele Knoten
+		enthält, wie eine optimale Lösung, da für ein Knotenpaar $v, u$ für das
+		$x_v = x_u = \frac{1}{2}$ mindestens ein Knoten in der Knotenüberdeckung
+		enthalten sein muss. Wenn wir beide Knoten nehmen, haben wir doppelt so
+		viele.
+		\points{2}
+\end{tasks}

übung_7/aufgabe_2.tex

@@ -0,0 +1,75 @@
+\section{Christofides’ Algorithmus}
+\begin{tasks}
+\item
+	Siehe \autoref{fig:christofides}.
+	\points{4}
+\item
+	Siehe \autoref{fig:checkmate}. Diese Tour kann nicht von \algt{Christofides}
+	berechnet werden, denn egal mit welcher Kante in welche Richtung gestartet
+	wird, nimmt \algt{Cristofides} immer eine Kante in die Tour, die nicht in
+	\autoref{fig:checkmate} ist.
+
+	\begin{figure}
+		\centering
+		\includegraphics[page=10, width=0.5\textwidth]{figures.pdf}
+		\caption{Eine kleinere TSP-Tour, die von \algt{Cristofides} nicht berechnet werden kann.}
+		\label{fig:checkmate}
+	\end{figure}
+	\points{1}
+\end{tasks}
+
+{
+\newpage
+\KOMAoptions{mpinclude=false}
+\recalctypearea
+\begin{figure}
+	\centering
+	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
+		\centering
+		\includegraphics[page=1, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
+		\caption{Der gewichtete, vollständige Graph $G$.}
+	\end{subfigure}
+	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
+		\centering
+		\includegraphics[page=2, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
+		\caption{Minimalen Spannbaum finden.}
+	\end{subfigure}
+	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
+		\centering
+		\includegraphics[page=3, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
+		\caption{Knoten $U$ mit ungeraden Graden finden.}
+	\end{subfigure}
+	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
+		\centering
+		\includegraphics[page=4, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
+		\caption{Minimales, perfektes Matching auf $G[U]$ finden.}
+	\end{subfigure}
+	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
+		\centering
+		\includegraphics[page=5, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
+		\caption{Eulertour konstruieren.}
+	\end{subfigure}
+	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
+		\centering
+		\includegraphics[page=6, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
+		\caption{Eulertour konstruieren.}
+	\end{subfigure}
+	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
+		\centering
+		\includegraphics[page=7, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
+		\caption{Eulertour konstruieren.}
+	\end{subfigure}
+	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
+		\centering
+		\includegraphics[page=8, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
+		\caption{Eulertour konstruieren.}
+	\end{subfigure}
+	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
+		\centering
+		\includegraphics[page=9, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
+		\caption{Schon besuchte Knoten überspringen. TSP vollständig.}
+	\end{subfigure}
+	\caption{Cristofides' Algorithmus}
+	\label{fig:christofides}
+\end{figure}
+}

übung_7/aufgabe_3.tex

@@ -0,0 +1,72 @@
+\section{Matchings in allgemeinen Graphen}
+\begin{tasks}
+	\item
+
+\begin{pseudocode}
+Matchings($G = \tup(V, E)$)
+	$M = \emptyset$
+	$visited =$ |Array von $False$ der Größe| $|V|$ // Markiert gematchte Knoten
+
+	for $e$ in $E$ do
+		if $\neg visited[u] \wedge \neg visited[v]$ then
+			$M = M \cup \{e\}$
+			$visited[u] = True$
+			$visited[v] = True$
+	return $M$
+\end{pseudocode}
+		
+	Angenommen $M$ wäre erweiterbar (d.h. es gibt eine Kante $\{u,v\}$ mit $u,v \notin V(M)$). Dann wurden sowohl $u$ als auch $v$ während des Algorithmus beim Durchlaufen der Kante $\{u,v\}$ als frei angesehen und wäre somit der Menge $M$ hinzugefügt worden. Das ist eine Widerspruch.
+
+	\textbf{Laufzeit:}
+
+	Initialisierung des Arrays: $\Oh(V)$
+
+	Schleife: Jede Kante wird genau einmal betrachtet ($\Oh(V)$) und die Überprüfung und Markierung passieren in $\Oh(1)$. Also insgesamt $\Oh(E)$
+
+	Das ergibt eine Gesamtlaufzeit von $\Oh(V+E)$
+	\points{3}
+	\item
+	\points{2}
+
+	\item
+	Sei $M$ das vom Algorithmus berechnete maximale Matching und $M^*$ das optimale maximale Matching.
+
+	Für jede Kante $e^*=\{u,v\}\in M^*$ gilt: mindestens einer der beiden Knoten $u$ oder $v$ muss über eine Kante aus $M$ abgedeckt werden, sonst wäre der $M$ nicht nicht-erweiterbar.
+
+	Eine Kante aus $M$ hat genau zwei Endknoten und kann daher höchstens zwei verschiedene Kanten aus $M^*$ ,,blockieren``. Da alle Kanten in $M^*$ disjunkt sind kann man daraus folgern:
+	\[
+		\abs{M^*} \leq 2\cdot \abs{M} \implies \abs{M} \geq \frac{1}{2} \abs{M^*}
+	\]
+	Somit ist der Algorithmus aus der Teilaufgabe a) eine 1/2 Approximation für ein optimales Matching.
+	
+	\points{3}
+	\item
+	
+	Zielfunktion:
+	\[
+		\arg\min \sum_{e\in E} x_e \geq 1
+	\]
+	Entscheidungsvariablen: für jede Kante $e\in E$:
+	\[
+		x_e\in\{0,1\}\quad \forall e\in E
+	\]
+	Die Variable nimmt den Wert 1 an, wenn die Kante im Matching M ist und 0 falls sie das nicht ist.
+
+	Nebenbedingungen:
+	\begin{enumerate}
+		\item 
+		Matching: Jeder Knoten darf von maximal einer Matching-Kante berührt werden
+		\[
+			\forall v\in V \colon \sum_{e\in \delta(v)}x_e\leq1
+		\]
+		$\delta(v)$ ist die Menge aller Kanten welche an $v$ anliegen
+		\item Nicht-Erweiterbarkeit: Für jede Kante $\{u,v\}$ muss die Summe der Matching-Kanten an $u$ und $v$ mindestens 1 sein
+			\[
+				\forall \{u,v\} \in E \colon \sum_{e \in \delta(u)} x_e + \sum_{e' \in \delta(v)} x_e' \geq 1
+			\]
+		$\delta(v)$ ist die Menge aller Kanten welche an $v$ anliegen. Äquivalent für $\delta(u)$.
+	\end{enumerate}
+	\points{3}
+	\item
+	\points{2}
+\end{tasks}

übung_7/aufgabe_4.tex

@@ -0,0 +1,38 @@
+\section{Längste Wege}
+\begin{tasks}
+	\item
+	Da $s, t$ in $G'$ adjazent zu jedem Knoten in $G$ ist, können wir
+	einen einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k+2$ erzeugen, indem wir
+	einen einfachen Weg der Länge $k$ in $G$ nehmen, $s$ an das eine Ende und $t$ an das andere Ende hängen.
+	
+	Umgekehrt kann man aus einem einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k$
+	in $G'$ einen einfachen Weg der Länge $k-2$ in $G$ konstruieren,
+	indem wir $s$ und $t$ entfernen.
+	\points{2}
+	
+	\item
+	Ein Hamiltonweg ist ein Weg der alle Knoten in $G$ beinhaltet
+	und somit Länge $n-1$ besitzt.
+	
+	Wie wir oben gezeigt haben, kann ein $s$-$t$-Weg der Länge $n+1$
+	in $G'$ leicht in einen Weg der Länge $n-1$ in $G$ umgewandelt 
+	werden. Das heißt, dass wir einen Hamiltonweg in $G$ finden,
+	wenn wir einen $s$-$t$-Weg finden.
+	
+	Umgekehrt können wir einen Hamiltonweg leicht in einen $s$-$t$-Weg
+	umwandeln, also finden wir einen $s$-$t$-Weg wenn wir einen
+	Hamiltonweg finden.
+	
+	Also finden wir einen Hamiltonweg genau dann, wenn wir einen
+	$s$-$t$-Weg finden.
+	\points{1}
+	
+	\item
+	Da wir Hamiltonweg auf \algt{Längster $s$-$t$-Weg} reduziert
+	haben, muss also \algt{Längster $s$-$t$-Weg} $\NPe$-schwer sein, denn
+	wenn es in $\Pe$ liegen würde, könnten wir auch Hamiltonweg in
+	polynomieller Zeit lösen. Da wir nicht von $\Pe = \NPe$ ausgehen,
+	ist das nicht möglich.
+	\points{2}
+	
+\end{tasks}

übung_7/ngexrcs.cls

@@ -0,0 +1,71 @@
+% vim: set filetype:tex
+
+% Identification %
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
+\ProvidesClass{ngexrcs}[2021/12/21 ADS Exercise class]
+
+% Handle options %
+\DeclareOption*{\PassOptionsToClass{\CurrentOption}{scrartcl}}
+\ProcessOptions\relax
+
+% More declarations %
+\LoadClass{scrartcl}
+
+\KOMAoptions{mpinclude=true}
+\recalctypearea
+
+\RequirePackage{ngutils}
+
+% define fonts
+\RequirePackage{fontspec}
+\RequirePackage[math-style=upright]{unicode-math}
+\setmainfont{TeX Gyre Pagella}
+\setsansfont{TeX Gyre Heros}
+\setmonofont{TeX Gyre Cursor}
+\setmathfont{Euler Math}
+
+\setlength{\marginparwidth}{1.5\marginparwidth}
+\setlength{\fboxrule}{\heavyrulewidth}
+
+% Use sansfont for all title elements
+\addtokomafont{titlehead}{\sffamily}
+\addtokomafont{subject}{\sffamily}
+\addtokomafont{title}{\sffamily}
+\addtokomafont{subtitle}{\sffamily}
+\addtokomafont{author}{\sffamily}
+\addtokomafont{date}{\sffamily}
+\addtokomafont{publishers}{\sffamily}
+
+% Use serif font for headings
+\addtokomafont{disposition}{\rmfamily}
+
+% Let sections be formated as in: Aufgabe 1 -- Section title 
+\renewcommand*{\sectionformat}{Aufgabe \thesection\autodot\enskip--\enskip}
+
+% Let points of an exercise be printed as in: [__ / 2]
+\newkomafont{points}{\sffamily}
+\newcommand\points[2][1em]{\marginline{\framebox{{\usekomafont{points}\hspace{#1} \textbf{/} #2}}}}
+
+\newcounter{task}
+\renewcommand{\thetask}{\@alph\c@task)}
+\newenvironment{tasks}
+{
+	\begin{list}{\thetask}
+		{
+			\usecounter{task}
+			\setlength{\leftmargin}{1.6em}
+		}
+}{%
+	\end{list}
+}
+
+\DeclareNewTOC
+[
+	type=algorithm,
+	types=algorithms,
+	float,
+	floattype=4,
+	name=Algorithmus,
+	listname={Algorithmenverzeichnis}
+]
+{loa}

übung_7/ngutils.sty

@@ -0,0 +1,157 @@
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
+\ProvidesPackage{ngutils}[2026/06/05 Never's LaTeX utils]
+
+\RequirePackage[ngerman]{babel}
+\RequirePackage{graphicx}
+\RequirePackage{tabularx}
+\RequirePackage{booktabs}
+\RequirePackage{listings}
+
+\lstnewenvironment{pseudocode}[1][] %defines the algorithm listing environment
+{
+    \renewcommand{\lstlistingname}{Algorithmus}
+    \lstset{ %this is the stype
+        mathescape=true,
+        columns=fullflexible,
+        basicstyle=\normalfont,
+        identifierstyle=\scshape,
+        keywordstyle=\bfseries,
+        keywords={, and, or, not, new, if, then, else, while, for, in, to, up, down, foreach, do, return},
+        commentstyle=\itshape,
+        comment=[l]//,
+        delim=[is][\normalfont]{|}{|},
+        tabsize=3,
+        frame=tb,
+        framerule=1pt,
+        #1 % this is to add specific settings to an usage of this environment (for instnce, the caption and referable label)
+    }
+}
+{}
+
+\newcommand{\seilpmi}{\Longleftarrow}
+
+\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
+\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
+\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
+\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
+
+\newcommand{\Pe}{\mathrm{P}}
+\newcommand{\NPe}{\mathrm{NP}}
+
+\newcommand{\Oh}{\mathcal{O}}
+\newcommand{\oh}{\scriptstyle{\mathcal{O}}}
+
+\newcommand{\Eh}{\mathop{\mathrm{E}}}
+\newcommand{\Var}{\mathop{\mathrm{Var}}}
+\newcommand{\pot}{\mathop{\mathcal{P}}}
+\newcommand{\argmax}{\mathop{\mathrm{arg\,max}}}
+\newcommand{\argmin}{\mathop{\mathrm{arg\,min}}}
+
+\newcommand{\parens}[1]{\left(#1\right)}
+\newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]}
+\newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}}
+\newcommand{\angled}[1]{\left\langle#1\right\rangle}
+
+\newcommand{\suchthat}{\;\middle\vert\;}
+
+\newcommand{\tup}[1]{\parens{#1}}
+\newcommand{\interval}[2][b]{
+	\if\detokenize{a}\detokenize{#1}%
+		\left[#2\right[
+	\fi
+	\if\detokenize{b}\detokenize{#1}%
+		\left[#2\right]
+	\fi
+	\if\detokenize{c}\detokenize{#1}%
+		\left]#2\right[
+	\fi
+	\if\detokenize{d}\detokenize{#1}%
+		\left]#2\right]
+	\fi
+}
+\newcommand{\set}[2][]{
+	\ifx&#1&
+		\braces{#2}
+	\else
+		\braces{#1 \suchthat #2}
+	\fi
+}
+\newcommand{\arr}[1]{\angled{#1}}
+\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
+\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
+\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
+\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
+
+% \newcommand{\alg}[2]{{\normalfont\scshape#1}{\normalfont(#2)}}
+\newcommand{\algt}[1]{{\normalfont\scshape#1}}
+
+\makeatletter
+\newcommand*{\alg@unstarred}[2]{{\normalfont\scshape#1}{\normalfont(#2)}}
+\newcommand*{\alg@starred}[1]{{\normalfont\scshape#1}}
+\newcommand*{\alg}{\@ifstar{\alg@starred}{\alg@unstarred}}
+\makeatother
+
+\newcommand{\com}[1]{{\normalfont\itshape/\!\!/ #1}}
+
+\newenvironment{algorithmic}[1][1em]{
+	\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth}
+		\bfseries
+		\begin{tabbing}
+			\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\kill
+			}{%
+		\end{tabbing}
+	\end{minipage}
+}
+
+% \newlength{\theoremskip}
+% \setlength{\theoremskip}{6em}
+%
+% \newcommand{\theoremfont}{\normalfont\bfseries}
+% \newcommand{\definitionfont}{\normalfont\bfseries}
+%
+% \newenvironment{theoremic}[3][]{
+% 	{#3 #2 #1}
+% 	\hfill
+% 	\begin{minipage}[t]{\the\dimexpr\linewidth-\theoremskip\relax}
+% 		}{
+% 	\end{minipage}
+% }
+%
+% \newenvironment{theorem}[1][]{
+% 	\begin{theoremic}[#1]{Satz}{\theoremfont}
+% 		}{
+% 	\end{theoremic}
+% }
+%
+% \newenvironment{lemma}[1][]{
+% 	\begin{theoremic}[#1]{Lemma}{\theoremfont}
+% 		}{
+% 	\end{theoremic}
+% }
+%
+% \newenvironment{corrolary}[1][]{
+% 	\begin{theoremic}[#1]{Korall}{\theoremfont}
+% 		}{
+% 	\end{theoremic}
+% }
+%
+% \newenvironment{proof}[1][]{
+% 	\begin{theoremic}[#1]{Beweis}{\theoremfont}
+% 		}{
+% 	\end{theoremic}
+% }
+%
+% \newenvironment{definition}[1][]{
+% 	\begin{theoremic}[#1]{Definition}{\theoremfont}
+% 		}{
+% 	\end{theoremic}
+% }
+%
+% \newenvironment{example}[1][]{
+% 	\begin{theoremic}[#1]{Beispiel}{\theoremfont}
+% 		}{
+% 	\end{theoremic}
+% }
+%