Aufgabe 2

übung_3/aufgabe_1.tex

@@ -4,7 +4,8 @@
 	$$
 	T(P)=\begin{cases}
 		0 &\textnormal{falls } P \textnormal{ nur 2 Ecken hat}\\
-	\min_{i\in \{2,...,n-1\}} [T(p_{1,i})+T(P_{i,n})+ \textnormal{Diagonalkosten}(i)] &\textnormal{sonst}
+	\min_{i\in \{2,...,n-1\}} [T(p_{1,i})+T(P_{i,n}) \\ 
+	+ \textnormal{Diagonalkosten}(i)] &\textnormal{sonst}
 	\end{cases} 
 	$$
 	$$
@@ -14,14 +15,18 @@
 		d(p_1, p_i)+d(p_i, p_{n}) &\textnormal{sonst}
 	\end{cases}
 	$$
-	Die Kosten der minimalen Triangulierung $T(P)$ lassen sich aus der minimalsten Summe der konstenminimalsten Triangulierung der entstehenden Teilpolygone $T(p_{1,i})$ und $T(p_{i,n})$ und den entstehenden Diagonalenkosten berechnen.\\
+	Die Kosten der minimalen Triangulierung $T(P)$ lassen sich aus der minimalsten Summe der konstenminimalsten Triangulierung der entstehenden Teilpolygone $T(p_{1,i})$ und $T(p_{i,n})$ und den entstehenden Diagonalenkosten berechnen.
+	
 	Die Diagonalenkosten unterscheiden sich, je nachdem ob eine oder zwei der drei Kanten Polygonkanten sind. Sobald ein (Teil-)Polygon nur noch zwei Ecken hat bricht die Rekursion ab.
 	\points{2}
 	
 	\item
-	Man nutzt die Idee aus a.\\
+	Man nutzt die Idee aus a.
-	\textbf{Tabelle $A[i,j]$} speichert die kostenminimalen Triangulierung des Teilpolygons mit den Ecken $p_i,...,p_j$\\
+	
-	Für alle $i$ gilt $A[i,i+1]=0$, da diese Teilpolygone mit nur zwei Ecken darstellen, welche keine Triangulierung benötigen.\\
+	\textbf{Tabelle $A[i,j]$} speichert die kostenminimalen Triangulierung des Teilpolygons mit den Ecken $p_i,...,p_j$.
+	
+	Für alle $i$ gilt $A[i,i+1]=0$, da diese Teilpolygone mit nur zwei Ecken darstellen, welche keine Triangulierung benötigen.
+	
 	Für $j>i+1$ gilt:
 	$$
 	A[i,j]=\min_{k\in\{i+1,...,j-1\}}[A[i,k]+A[k,j]+\textnormal{Diagonalkosten}(i,k,j)]
@@ -33,21 +38,27 @@
 		d(p_i, p_k)+d(p_k, p_j) &\textnormal{sonst}
 	\end{cases}
 	$$
-	Man berechnet dabei die Einträge nach nach wachsendem Abstand $r=j-i$, also von $r=2$ bis $r=n-1$. Dadurch sind die Einträge $A[i,k]$ und $A[k,j]$ immer bereits berechnet wenn man den $A[i,j]$ benötigt, da $k-i<r$ und $j-k<r$ gilt.\\
+	Man berechnet dabei die Einträge nach nach wachsendem Abstand $r=j-i$, also von $r=2$ bis $r=n-1$. Dadurch sind die Einträge $A[i,k]$ und $A[k,j]$ immer bereits berechnet wenn man den $A[i,j]$ benötigt, da $k-i<r$ und $j-k<r$ gilt.
-	Das Ergebnis steht dann in $A[1,n]$.\\\\
+	
+	Das Ergebnis steht dann in $A[1,n]$.
 	\points{4}
 	
 	\item
-	Die polynomielle Laufzeit kann über die Schleifen des DP begründet werden.\\
+	Die polynomielle Laufzeit kann über die Schleifen des DP begründet werden.
-	Äußere Schleife: $r$ läuft von 1 bis $n-1$ benötigt also $\Oh(n)$ Schritte\\
+	
-	Mittlere Schleife: für jedes $r$ gibt es $\Oh(n)$ Paare $(i,j)$ bei welchen $j-i=r$ gilt.\\
+	Äußere Schleife: $r$ läuft von 1 bis $n-1$ benötigt also $\Oh(n)$ Schritte.
-	Innere Schleife: Für jedes Paar probiert man alle $k$ zwischen $i$ und $j$ also $\Oh(n)$ Werte.\\
+	
-	Pro Iteration der inneren Schleife benötigt man $\Oh(1)$ um die Einträge zu berechnen.\\
+	Mittlere Schleife: für jedes $r$ gibt es $\Oh(n)$ Paare $(i,j)$ bei welchen $j-i=r$ gilt.
+	
+	Innere Schleife: Für jedes Paar probiert man alle $k$ zwischen $i$ und $j$ also $\Oh(n)$ Werte.
+	
+	Pro Iteration der inneren Schleife benötigt man $\Oh(1)$ um die Einträge zu berechnen.
+	
 	Daraus folgt:
 	$$
 	T(n)=\Oh(n)\cdot\Oh(n)\cdot\Oh(n)\cdot\Oh(1)=\Oh(n³)
 	$$
-	Diese Schranke ist auch scharf, da jeder der $\Oh(n²)$ Tabelleneinträgen auch tatsächlich befüllt wird und für jeden der Einträge im Durchschnitt $\Theta(n)$ Werte von $k$ durchprobiert werden. Es gilt also $\Theta(n³)$.\\\\
+	Diese Schranke ist auch scharf, da jeder der $\Oh(n²)$ Tabelleneinträgen auch tatsächlich befüllt wird und für jeden der Einträge im Durchschnitt $\Theta(n)$ Werte von $k$ durchprobiert werden. Es gilt also $\Theta(n³)$.
 	
 	Der Speicherbedarf des Programms ist $\Oh(n²)$, da die Tabelle so viele Einträge für die Paare $(i,j)$ mit $1\leq i<j\leq n$ hat.
 	\points{2}

übung_3/aufgabe_2.tex

@@ -2,5 +2,24 @@
 \section{TSP mit Wiederholungen}
 \begin{tasks}
 	\item
+	Um TSP mit Wiederholungen auf Metrisches TSP zu reduzieren, müssen wir den zugrundeliegenden Graphen
+	metrisch machen, d. h. die Dreiecksungleichung muss für jede Menge von $3$ Knoten gelten.
+	
+	Dazu iterieren wir über alle möglichen Mengen $T = \set{a, b, c}$ mit $a \neq b \neq c$ und $a, b, c \in V$ und $G(T, E)$ ist vollständig.
+	Erfüllt eine Menge die Dreiecksungleichung $c(a,b) \leq c(b,c) + c(a,c)$ nicht, so löschen wir 
+	die Kante mit den höchsten Kosten aus dem Graphen.
+	Das dürfen wir, da die TSP-Tour diese Kante nie enthalten wird, weil es einen Weg gibt, der 
+	kürzer ist und alle drei Knoten enthält. Der Graph bleibt zusammenhängend, da wir für jede 
+	Menge $T$ nur eine Kante löschen.
 	\item
+	Da wir den Graphen jetzt auf einen metrischen reduziert haben, können wir ähnlich wie in
+	der Vorlesung vorgehen.
+	
+	Dazu nehmen wir einen Minimalen Spannbaum des Metrischen Graphen. Durch verdoppeln der Kanten
+	entsteht ein Kreis für dessen Kosten gilt (siehe Vorlesung):
+	$$
+	c(Kreis) = 2 \cdotp c(MSB) \leq 2 \cdotp OPT
+	$$
+	Da wir Knoten und Kanten mehrfach benutzen dürfen, ist dieser Kreis eine 2-Approximation für
+	TSP mit Wiederholungen.
 \end{tasks}