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\section{TSP mit Wiederholungen}
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\begin{tasks}
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\item
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Um TSP mit Wiederholungen auf Metrisches TSP zu reduzieren, müssen wir den zugrundeliegenden Graphen
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metrisch machen, d. h. die Dreiecksungleichung muss für jede Menge von $3$ Knoten gelten.
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Dazu iterieren wir über alle möglichen Mengen $T = \set{a, b, c}$ mit $a \neq b \neq c$ und $a, b, c \in V$ und $G(T, E)$ ist vollständig.
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Erfüllt eine Menge die Dreiecksungleichung $c(a,b) \leq c(b,c) + c(a,c)$ nicht, so löschen wir
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die Kante mit den höchsten Kosten aus dem Graphen.
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Das dürfen wir, da die TSP-Tour diese Kante nie enthalten wird, weil es einen Weg gibt, der
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kürzer ist und alle drei Knoten enthält. Der Graph bleibt zusammenhängend, da wir für jede
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Menge $T$ nur eine Kante löschen.
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\item
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Da wir den Graphen jetzt auf einen metrischen reduziert haben, können wir ähnlich wie in
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der Vorlesung vorgehen.
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Dazu nehmen wir einen Minimalen Spannbaum des Metrischen Graphen. Durch verdoppeln der Kanten
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entsteht ein Kreis für dessen Kosten gilt (siehe Vorlesung):
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$$
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c(Kreis) = 2 \cdotp c(MSB) \leq 2 \cdotp OPT
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$$
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Da wir Knoten und Kanten mehrfach benutzen dürfen, ist dieser Kreis eine 2-Approximation für
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TSP mit Wiederholungen.
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\end{tasks}
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