aufgabe 1 und 2

übung_9/agt_übung_9.tex

@@ -4,12 +4,12 @@
 \setkeys{Gin}{pagebox=artbox, width=0.8\textwidth}
 
 \subject{Algorithmische Graphentheorie}
-\title{8. Übungsblatt}
+\title{9. Übungsblatt}
 \author{Jasper Gude \and Pia Röttgers}
 
 \begin{document}
 \maketitle
-\points[2em]{20}
+\points[2em]{34}
 
 \input{aufgabe_1.tex}
 \input{aufgabe_2.tex}

übung_9/aufgabe_1.tex

@@ -1,23 +1,50 @@
-\section{Kleinste Schnitte}
+\section{Dreifärbarkeit}
 \begin{tasks}
 	\item
 		Siehe \autoref{fig:1a}.
-		\points{2}
+		\points{1}
 
 		\begin{figure}
 			\centering
 			\includegraphics[page=1, width=0.5\textwidth]{figures.pdf}
-			\caption{Gegenbeispiel; Minimaler Schnitt $\tup{S, T}$ und nicht minimaler Schnitt $\tup{\set{v}, V \setminus \set{v}}$ in rot.}
+			\caption{Dreifärbung des Sterngraphs.}
 			\label{fig:1a}
-			
 		\end{figure}
 
 	\item
-		Die Wahrscheinlichkeit, dass \alg*{Contract} in keiner Iteration
+		Da die Knoten, die zwei Türme miteinander verbinden, die selbe Farbe haben,
-		eine Kante aus $C = \set{uv \in E \mid u \in S, v \in T}$ mit minimalem Schnitt $\tup{S, T}$ kontrahiert, also immer die falschen Knoten auswählt,
+		kann man zwischen zwei Türme einen weiteren Turm einfügen, der die
-		ist laut Vorlesung $\frac{2}{n(n-1)}$. Das heißt die Zahl der 
+		Färbbarkeitsregeln nicht verletzt.
-		richtigen Knoten wächst quadratisch, da die Wahrscheinlichkeit quadratisch
+
-		abnimmt.
+		Die Knoten mit Grad 2 im Sterngraphen sind die Spitzen der Türme.
-		\points{3}
+		Da die Turmverbindungsknoten alle die selbe Farbe haben müssen und die
+		zu ihnen ajazenten Knoten jeweils unterschiedlich gefärbt sein müssen,
+		da sie selbst adjazent zueinander sind, müssen die Spitzen die letzte
+		freie Farbe bekommen.
+		\points{2}
+	
+	\item
+		Um das Problem 3COL auf das Problem 3COL4 zu reduzieren, müssen wir
+		dafür sorgen, dass Knoten mit Grad größer $4$ so aufgelöst werden, dass
+		sie maximal Grad $4$ haben.
+		
+		Dazu machen wir uns zu nutze, dass der Sterngraph beliebig erweiterbar
+		ist und somit beliebig viele Knoten mit Grad $2$ hat, die alle die
+		selbe Farbe haben müssen.
+
+		Einen Knoten $v$ mit Grad $m > 4$ ersetzen wir durch einen Stern mit $m$
+		Zacken. Die zu $v$ adjazenten Kanten verbinden wir mit den Spitzen des
+		Sterns.
+
+		Jetzt haben wir einen Graphen mit Maximalgrad $4$ auf dem wir \alg*{Test3COL4}
+		anwenden können.
+
+		Beim Rückübersetzen können wir die Sterne wieder durch einen einzigen Knoten
+		ersetzen, der die Farbe der Spitzen hat. Da diese die selbe Farbe haben,
+		verletzt das nicht die Färbbarkeitsregel.
+
+		Da 3COL NP-vollständig ist, muss also 3COL4 und insbesondere auch \alg*{Test3COL4}
+		auch NP-vollständig sein.
+		\points{4}
 
 \end{tasks}

übung_9/aufgabe_2.tex

@@ -1,25 +1,29 @@
-\section{Implementierung von \textsc{Contract}}
+\section{Chromatische Zahl}
-\begin{enumerate}
+\begin{tasks}
-	\item $G$ nach $H$ kopieren. \hfill $\Oh(1)$
+	\item
-	\item Wenn $\abs{V_H} \leq 2$, dann ist die Zerlegung $\tup{S, T}$ von $G$,
+		Angenommen der Graph $G$ ist vollständig. So hat jeder Knoten den maximalen
-		die den beiden letzen Knoten in $H$ entspricht, das Ergebnis.
+		Knotengrad $\Delta(G)$. Für alle Knoten $v$ gilt, dass jeder adjazente
-		\label{step2}
+		Knoten und $v$ eine eigene Farbe haben muss. Das sind also $\Delta(G) + 1$
-	\item Wähle eine Zufallszahl $z$ im Intervall $\interval{1; \abs{V_H}}$. \hfill $\Oh(1)$
+		viele. Jeder Graph (mit weniger Kanten) hat also eine chromatische Zahl
-	\item Nimm den Knoten $a = V_H[z]$ und wähle eine Zufallszahl $z'$ im Intervall $\interval{1, \abs{Adj[a]}}$.
+		$\chi(G) \leq \Delta(G) + 1$.
+		\points{2}
 	
-		Nimm den Knoten $b = Adj_{z'}[a]$. \hfill $\Oh(1)$
+	\item
-	\item Bestimme für jeden zu $a$ oder $b$ adjazenten Knoten $c_i$ die Anzahl der Kanten
+		Für alle Anzahlen an Knoten $n \in \NN$ und Maximalgrad $\Delta < n$ existiert ein
-		zwischen $c_i$ und $a$ oder $b$. \hfill $\Oh(V_H) = \Oh(n)$.
+		Graph $G_{n,\Delta}$ mit $\chi(G_{n,\Delta}) = \Delta + 1$. Dieser Graph
-	\item Kontrahiere die Kante $ab$. Lösche dazu die Knoten $a, b$ sowie alle zu $a$ oder $b$ inzidenten Kanten. Da Mehrfachkanten als Zahl implementiert sind, sind
+		hat eine Clique der Größe $\Delta$.
-		nur maximal 2 Einträge pro $c_i$ zu löschen. \hfill $\Oh(n)$
+		\points{2}
 	
-		Füge einen neuen Knoten $d$ ein. Füge für jeden Knoten $c_i$ die vorher bestimmte Anzahl
+	\item
-		an Kanten zwischen $c_i$ und $a$ oder $b$ als Kanten zwischen $c_i$ und $d$ ein.
+		\begin{align*}
-		\hfill $\Oh(n)$
+			& \text{Variablen:} & x_1, \dots, x_{n} \in \set{1, \dots, \Delta + 1} \\
-	\item Gehe zurück zu \autoref{step2}
+			&&\text{Jeder Knoten hat eine Farbe} \\ 
-\end{enumerate}
+			& \text{Zielfunktion:} & \argmin \sum_{i=1}^{n} x_i \\
+			&&\text{Es werden so wenig Farben wie möglich benutzt} \\ 
+			& \text{Nebenbedingung:} & \forall ab \colon x_a \neq x_b \\
+			&&\text{Die Knoten einer Kante haben nicht die selbe Farbe}
+		\end{align*}
+		\points{2}
 
-Da der Knoten $a$ durch eine gleichverteilte Zufallszahl $z$ ausgewählt wird und der
+	
-Knoten $b$ ebenfalls gleichverteilt ausgewählt wird, ist die Kante $ab$ ebenfalls
+\end{tasks}
-gleichverteilt ausgewählt.
-\points{6}

übung_9/ngexrcs.cls

@@ -23,6 +23,7 @@
 \setsansfont{TeX Gyre Heros}
 \setmonofont{TeX Gyre Cursor}
 \setmathfont{Euler Math}
+\mathitalicsmode=1
 
 \setlength{\marginparwidth}{1.5\marginparwidth}
 \setlength{\fboxrule}{\heavyrulewidth}

übung_9/ngutils.sty

@@ -28,6 +28,8 @@
 }
 {}
 
+\newcommand{\argmax}{\mathop{\mathrm{arg\,max}}}
+\newcommand{\argmin}{\mathop{\mathrm{arg\,min}}}
 \newcommand{\seilpmi}{\Longleftarrow}
 
 \newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
@@ -37,6 +39,14 @@
 \newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
 \newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
 
+\newcommand{\pot}{\mathcal{P}}
+
+\newcommand{\REC}{\mathrm{REC}}
+\newcommand{\RE}{\mathrm{RE}}
+\newcommand{\EA}{\mathrm{EA}}
+\newcommand{\DEA}{\mathrm{DEA}}
+\newcommand{\NEA}{\mathrm{DEA}}
+
 \newcommand{\Pe}{\mathrm{P}}
 \newcommand{\NPe}{\mathrm{NP}}
 
@@ -45,11 +55,9 @@
 
 \newcommand{\indeg}{\mathrm{indeg}}
 \newcommand{\outdeg}{\mathrm{outdeg}}
+
 \newcommand{\Eh}{\mathrm{E}}
 \newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}
-\newcommand{\pot}{\mathcal{P}}
-\newcommand{\argmax}{\mathop{\mathrm{arg\,max}}}
-\newcommand{\argmin}{\mathop{\mathrm{arg\,min}}}
 
 \newcommand{\parens}[1]{\left(#1\right)}
 \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]}
@@ -57,7 +65,7 @@
 \newcommand{\angled}[1]{\left\langle#1\right\rangle}
 
 \newcommand{\suchthat}{\;\middle\vert\;}
-
+\newcommand{\set}[1]{\braces{#1}}
 \newcommand{\tup}[1]{\parens{#1}}
 \newcommand{\interval}[2][b]{
 	\if\detokenize{a}\detokenize{#1}%
@@ -73,20 +81,12 @@
 		\left]#2\right]
 	\fi
 }
-\newcommand{\set}[2][]{
-	\ifx&#1&
-		\braces{#2}
-	\else
-		\braces{#1 \suchthat #2}
-	\fi
-}
 \newcommand{\arr}[1]{\angled{#1}}
 \newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
 \newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
 \newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
 \newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
 
-% \newcommand{\alg}[2]{{\normalfont\scshape#1}{\normalfont(#2)}}
 \newcommand{\algt}[1]{{\normalfont\scshape#1}}
 
 \makeatletter
@@ -107,53 +107,3 @@
 	\end{minipage}
 }
 
-% \newlength{\theoremskip}
-% \setlength{\theoremskip}{6em}
-%
-% \newcommand{\theoremfont}{\normalfont\bfseries}
-% \newcommand{\definitionfont}{\normalfont\bfseries}
-%
-% \newenvironment{theoremic}[3][]{
-% 	{#3 #2 #1}
-% 	\hfill
-% 	\begin{minipage}[t]{\the\dimexpr\linewidth-\theoremskip\relax}
-% 		}{
-% 	\end{minipage}
-% }
-%
-% \newenvironment{theorem}[1][]{
-% 	\begin{theoremic}[#1]{Satz}{\theoremfont}
-% 		}{
-% 	\end{theoremic}
-% }
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-% \newenvironment{lemma}[1][]{
-% 	\begin{theoremic}[#1]{Lemma}{\theoremfont}
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-% 	\end{theoremic}
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-%
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-% 	\begin{theoremic}[#1]{Korall}{\theoremfont}
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-% }
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-% 	\begin{theoremic}[#1]{Beweis}{\theoremfont}
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-% 	\begin{theoremic}[#1]{Definition}{\theoremfont}
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-% 	\begin{theoremic}[#1]{Beispiel}{\theoremfont}
-% 		}{
-% 	\end{theoremic}
-% }
-%