aufgabe 1 und 2

übung_9/aufgabe_2.tex

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-\section{Implementierung von \textsc{Contract}}
-\begin{enumerate}
-	\item $G$ nach $H$ kopieren. \hfill $\Oh(1)$
-	\item Wenn $\abs{V_H} \leq 2$, dann ist die Zerlegung $\tup{S, T}$ von $G$,
-		die den beiden letzen Knoten in $H$ entspricht, das Ergebnis.
-		\label{step2}
-	\item Wähle eine Zufallszahl $z$ im Intervall $\interval{1; \abs{V_H}}$. \hfill $\Oh(1)$
-	\item Nimm den Knoten $a = V_H[z]$ und wähle eine Zufallszahl $z'$ im Intervall $\interval{1, \abs{Adj[a]}}$.
+\section{Chromatische Zahl}
+\begin{tasks}
+	\item
+		Angenommen der Graph $G$ ist vollständig. So hat jeder Knoten den maximalen
+		Knotengrad $\Delta(G)$. Für alle Knoten $v$ gilt, dass jeder adjazente
+		Knoten und $v$ eine eigene Farbe haben muss. Das sind also $\Delta(G) + 1$
+		viele. Jeder Graph (mit weniger Kanten) hat also eine chromatische Zahl
+		$\chi(G) \leq \Delta(G) + 1$.
+		\points{2}
+	
+	\item
+		Für alle Anzahlen an Knoten $n \in \NN$ und Maximalgrad $\Delta < n$ existiert ein
+		Graph $G_{n,\Delta}$ mit $\chi(G_{n,\Delta}) = \Delta + 1$. Dieser Graph
+		hat eine Clique der Größe $\Delta$.
+		\points{2}
+	
+	\item
+		\begin{align*}
+			& \text{Variablen:} & x_1, \dots, x_{n} \in \set{1, \dots, \Delta + 1} \\
+			&&\text{Jeder Knoten hat eine Farbe} \\ 
+			& \text{Zielfunktion:} & \argmin \sum_{i=1}^{n} x_i \\
+			&&\text{Es werden so wenig Farben wie möglich benutzt} \\ 
+			& \text{Nebenbedingung:} & \forall ab \colon x_a \neq x_b \\
+			&&\text{Die Knoten einer Kante haben nicht die selbe Farbe}
+		\end{align*}
+		\points{2}
 
-		Nimm den Knoten $b = Adj_{z'}[a]$. \hfill $\Oh(1)$
-	\item Bestimme für jeden zu $a$ oder $b$ adjazenten Knoten $c_i$ die Anzahl der Kanten
-		zwischen $c_i$ und $a$ oder $b$. \hfill $\Oh(V_H) = \Oh(n)$.
-	\item Kontrahiere die Kante $ab$. Lösche dazu die Knoten $a, b$ sowie alle zu $a$ oder $b$ inzidenten Kanten. Da Mehrfachkanten als Zahl implementiert sind, sind
-		nur maximal 2 Einträge pro $c_i$ zu löschen. \hfill $\Oh(n)$
-		
-		Füge einen neuen Knoten $d$ ein. Füge für jeden Knoten $c_i$ die vorher bestimmte Anzahl
-		an Kanten zwischen $c_i$ und $a$ oder $b$ als Kanten zwischen $c_i$ und $d$ ein.
-		\hfill $\Oh(n)$
-	\item Gehe zurück zu \autoref{step2}
-\end{enumerate}
-
-Da der Knoten $a$ durch eine gleichverteilte Zufallszahl $z$ ausgewählt wird und der
-Knoten $b$ ebenfalls gleichverteilt ausgewählt wird, ist die Kante $ab$ ebenfalls
-gleichverteilt ausgewählt.
-\points{6}
+	
+\end{tasks}