Aufgabe 2

übung_3/aufgabe_2.tex

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 \section{TSP mit Wiederholungen}
 \begin{tasks}
 	\item
+	Um TSP mit Wiederholungen auf Metrisches TSP zu reduzieren, müssen wir den zugrundeliegenden Graphen
+	metrisch machen, d. h. die Dreiecksungleichung muss für jede Menge von $3$ Knoten gelten.
+	
+	Dazu iterieren wir über alle möglichen Mengen $T = \set{a, b, c}$ mit $a \neq b \neq c$ und $a, b, c \in V$ und $G(T, E)$ ist vollständig.
+	Erfüllt eine Menge die Dreiecksungleichung $c(a,b) \leq c(b,c) + c(a,c)$ nicht, so löschen wir 
+	die Kante mit den höchsten Kosten aus dem Graphen.
+	Das dürfen wir, da die TSP-Tour diese Kante nie enthalten wird, weil es einen Weg gibt, der 
+	kürzer ist und alle drei Knoten enthält. Der Graph bleibt zusammenhängend, da wir für jede 
+	Menge $T$ nur eine Kante löschen.
 	\item
+	Da wir den Graphen jetzt auf einen metrischen reduziert haben, können wir ähnlich wie in
+	der Vorlesung vorgehen.
+	
+	Dazu nehmen wir einen Minimalen Spannbaum des Metrischen Graphen. Durch verdoppeln der Kanten
+	entsteht ein Kreis für dessen Kosten gilt (siehe Vorlesung):
+	$$
+	c(Kreis) = 2 \cdotp c(MSB) \leq 2 \cdotp OPT
+	$$
+	Da wir Knoten und Kanten mehrfach benutzen dürfen, ist dieser Kreis eine 2-Approximation für
+	TSP mit Wiederholungen.
 \end{tasks}