Übungsblatt 4

übung_4/aufgabe_4.tex

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+\section{Längste Wege}
+\begin{tasks}
+	\item
+	Da $s, t$ in $G'$ adjazent zu jedem Knoten in $G$ ist, können wir
+	einen einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k+2$ erzeugen, indem wir
+	einen einfachen Weg der Länge $k$ in $G$ nehmen, $s$ an das eine Ende und $t$ an das andere Ende hängen.
+	
+	Umgekehrt kann man aus einem einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k$
+	in $G'$ einen einfachen Weg der Länge $k-2$ in $G$ konstruieren,
+	indem wir $s$ und $t$ entfernen.
+	\points{2}
+	
+	\item
+	Ein Hamiltonweg ist ein Weg der alle Knoten in $G$ beinhaltet
+	und somit Länge $n-1$ besitzt.
+	
+	Wie wir oben gezeigt haben, kann ein $s$-$t$-Weg der Länge $n+1$
+	in $G'$ leicht in einen Weg der Länge $n-1$ in $G$ umgewandelt 
+	werden. Das heißt, dass wir einen Hamiltonweg in $G$ finden,
+	wenn wir einen $s$-$t$-Weg finden.
+	
+	Umgekehrt können wir einen Hamiltonweg leicht in einen $s$-$t$-Weg
+	umwandeln, also finden wir einen $s$-$t$-Weg wenn wir einen
+	Hamiltonweg finden.
+	
+	Also finden wir einen Hamiltonweg genau dann, wenn wir einen
+	$s$-$t$-Weg finden.
+	\points{1}
+	
+	\item
+	Da wir Hamiltonweg auf \algt{Längster $s$-$t$-Weg} reduziert
+	haben, muss also \algt{Längster $s$-$t$-Weg} $\NPe$-schwer sein, denn
+	wenn es in $\Pe$ liegen würde, könnten wir auch Hamiltonweg in
+	polynomieller Zeit lösen. Da wir nicht von $\Pe = \NPe$ ausgehen,
+	ist das nicht möglich.
+	\points{2}
+	
+\end{tasks}