diff --git a/übung_4/agt26-blatt04.pdf b/übung_4/agt26-blatt04.pdf new file mode 100644 index 0000000..a144ce9 Binary files /dev/null and b/übung_4/agt26-blatt04.pdf differ diff --git a/übung_4/agt_übung_3_korrpdf b/übung_4/agt_übung_3_korrpdf new file mode 100644 index 0000000..627eef2 Binary files /dev/null and b/übung_4/agt_übung_3_korrpdf differ diff --git a/übung_4/agt_übung_4.pdf b/übung_4/agt_übung_4.pdf new file mode 100644 index 0000000..15a1c80 Binary files /dev/null and b/übung_4/agt_übung_4.pdf differ diff --git a/übung_4/agt_übung_4.tex b/übung_4/agt_übung_4.tex new file mode 100644 index 0000000..c28f3f0 --- /dev/null +++ b/übung_4/agt_übung_4.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +\documentclass{ngexrcs} +\usepackage{hyperref} +\setkeys{Gin}{pagebox=artbox, width=0.2\textwidth} + +\title{4. Übungsblatt} +\subject{Algorithmische Graphentheorie} +\author{Jasper Gude \and Pia Röttgers} + +\begin{document} +\maketitle +\points[\qquad]{20} + +\input{aufgabe_1.tex} +\input{aufgabe_2.tex} +\input{aufgabe_3.tex} + +\end{document} diff --git a/übung_4/aufgabe_1.tex b/übung_4/aufgabe_1.tex new file mode 100644 index 0000000..62f2623 --- /dev/null +++ b/übung_4/aufgabe_1.tex @@ -0,0 +1,33 @@ +\section{Knotengrade} +\begin{tasks} +\item + Einen solchen Graph gibt es. Siehe \autoref{fig:task1a}. + \points{3} + \begin{figure} + \centering + \includegraphics[page=1, width=0.8\textwidth]{figures.pdf} + \caption{Ein Graph mit 11 Knoten und Knotengraden 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 10.} + \label{fig:task1a} + \end{figure} +\item + Das Problem kann als Maximalflussproblem modelliert werden. Dafür haben wir + eine Quelle $s$, eine Senke $t$ und Knoten $v_i$ mit $i \in \NN_{\leq n}$. + Die Eingangskapazität eines Knoten $v_i$ entspricht dem Eingangsgrad $e_i$. + Die Ausgangskapazität entspricht dem Ausgangsgrad $a_i$. Siehe \autoref{fig:task1b}. + + Wenn es einen vollständigen Fluss gibt, gibt es eine Lösung für das Problem, + sonst nicht. + \points{4} + \begin{figure} + \centering + \includegraphics[page=2, width=0.5\textwidth]{figures.pdf} + \caption{Das Problem als Maximalflussproblem.} + \label{fig:task1b} + \end{figure} +\item + Die Modellierung ist korrekt, da der Eingangs- und Ausgangsgrad jedes Knotens $v_i$ + von oben beschränkt wird von der Eingangskapazität $e_i$ bzw. Ausgangskapazität $a_i$. + + Zudem erfüllt die Flusserhaltung den Zweck, dass die Summe der Eingangsgrade gleich der Summe der Ausgangsgrade sind, was in einem Graphen erfüllt sein muss. + \points{2} +\end{tasks} diff --git a/übung_4/aufgabe_2.tex b/übung_4/aufgabe_2.tex new file mode 100644 index 0000000..f821048 --- /dev/null +++ b/übung_4/aufgabe_2.tex @@ -0,0 +1,5 @@ +\section{b-Flüsse} +\begin{tasks} +\item +\item +\end{tasks} diff --git a/übung_4/aufgabe_3.tex b/übung_4/aufgabe_3.tex new file mode 100644 index 0000000..78a1258 --- /dev/null +++ b/übung_4/aufgabe_3.tex @@ -0,0 +1 @@ +\section{Minimale Schnitte} diff --git a/übung_4/aufgabe_4.tex b/übung_4/aufgabe_4.tex new file mode 100644 index 0000000..4535a11 --- /dev/null +++ b/übung_4/aufgabe_4.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +\section{Längste Wege} +\begin{tasks} + \item + Da $s, t$ in $G'$ adjazent zu jedem Knoten in $G$ ist, können wir + einen einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k+2$ erzeugen, indem wir + einen einfachen Weg der Länge $k$ in $G$ nehmen, $s$ an das eine Ende und $t$ an das andere Ende hängen. + + Umgekehrt kann man aus einem einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k$ + in $G'$ einen einfachen Weg der Länge $k-2$ in $G$ konstruieren, + indem wir $s$ und $t$ entfernen. + \points{2} + + \item + Ein Hamiltonweg ist ein Weg der alle Knoten in $G$ beinhaltet + und somit Länge $n-1$ besitzt. + + Wie wir oben gezeigt haben, kann ein $s$-$t$-Weg der Länge $n+1$ + in $G'$ leicht in einen Weg der Länge $n-1$ in $G$ umgewandelt + werden. Das heißt, dass wir einen Hamiltonweg in $G$ finden, + wenn wir einen $s$-$t$-Weg finden. + + Umgekehrt können wir einen Hamiltonweg leicht in einen $s$-$t$-Weg + umwandeln, also finden wir einen $s$-$t$-Weg wenn wir einen + Hamiltonweg finden. + + Also finden wir einen Hamiltonweg genau dann, wenn wir einen + $s$-$t$-Weg finden. + \points{1} + + \item + Da wir Hamiltonweg auf \algt{Längster $s$-$t$-Weg} reduziert + haben, muss also \algt{Längster $s$-$t$-Weg} $\NPe$-schwer sein, denn + wenn es in $\Pe$ liegen würde, könnten wir auch Hamiltonweg in + polynomieller Zeit lösen. Da wir nicht von $\Pe = \NPe$ ausgehen, + ist das nicht möglich. + \points{2} + +\end{tasks} diff --git a/übung_4/figures.pdf b/übung_4/figures.pdf new file mode 100644 index 0000000..9236211 Binary files /dev/null and b/übung_4/figures.pdf differ diff --git a/übung_4/figures.pdf.autosave.ipe b/übung_4/figures.pdf.autosave.ipe new file mode 100644 index 0000000..c884638 --- /dev/null +++ b/übung_4/figures.pdf.autosave.ipe @@ -0,0 +1,995 @@ + + + + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-0.8 0 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-0.8 0 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e +0.4 0 0 0.4 0 0 e + + + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e + + + + + +0.5 0 0 0.5 0 0 e + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e +0.4 0 0 0.4 0 0 e + + + + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h +-0.4 -0.4 m +0.4 -0.4 l +0.4 0.4 l +-0.4 0.4 l +h + + + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h + + + + + +-0.5 -0.5 m +0.5 -0.5 l +0.5 0.5 l +-0.5 0.5 l +h + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h +-0.4 -0.4 m +0.4 -0.4 l +0.4 0.4 l +-0.4 0.4 l +h + + + + + + +-0.43 -0.57 m +0.57 0.43 l +0.43 0.57 l +-0.57 -0.43 l +h + + +-0.43 0.57 m +0.57 -0.43 l +0.43 -0.57 l +-0.57 0.43 l +h + + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-0.8 0 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-0.8 0 l +-1 -0.333 l +h + + + + +-1 0.333 m +0 0 l +-1 -0.333 l + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h +-1 0 m +-2 0.333 l +-2 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h +-1 0 m +-2 0.333 l +-2 -0.333 l +h + + + + +0.5 0 m +-0.5 0.333 l +-0.5 -0.333 l +h + + + + +0.5 0 m +-0.5 0.333 l +-0.5 -0.333 l +h + + + + +0.5 0 m +-0.5 0.333 l +-0.3 0 l +-0.5 -0.333 l +h + + + + +0.5 0 m +-0.5 0.333 l +-0.3 0 l +-0.5 -0.333 l +h + + + + +1 0 m +0 0.333 l +0 -0.333 l +h +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +1 0 m +0 0.333 l +0 -0.333 l +h +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +-0.7 0 m +-1.7 0.333 l +-1.7 -0.333 l +h + + + + +-0.7 0 m +-1.7 0.333 l +-1.7 -0.333 l +h + + + + +-0.7 0 m +-1.7 0.333 l +-0.8 0 l +-1.7 -0.333 l +h + + + + +-0.7 0 m +-1.7 0.333 l +-0.8 0 l +-1.7 -0.333 l +h + + + + +-1.7 0.333 m +-0.7 0 l +-1.7 -0.333 l + + + + +-0.7 0 m +-1.7 0.333 l +-1.7 -0.333 l +h +-1.7 0 m +-2.7 0.333 l +-2.7 -0.333 l +h + + + + +-0.7 0 m +-1.7 0.333 l +-1.7 -0.333 l +h +-1.7 0 m +-2.7 0.333 l +-2.7 -0.333 l +h + + + + +100 204 m +4 0 0 4 100 200 96 200 a +96 100 l +4 0 0 4 100 100 100 96 a +300 96 l +4 0 0 4 300 100 304 100 a +304 200 l +4 0 0 4 300 200 300 204 a +h + + + + +100 204 m +4 0 0 4 100 200 96 200 a +96 100 l +4 0 0 4 100 100 100 96 a +300 96 l +4 0 0 4 300 100 304 100 a +304 200 l +4 0 0 4 300 200 300 204 a +h + + + + +100 204 m +4 0 0 4 100 200 96 200 a +96 100 l +4 0 0 4 100 100 100 96 a +300 96 l +4 0 0 4 300 100 304 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+%\setlength{\leftmarginvi}{1.33em} + +\renewcommand{\labelenumi}{\labelfont\arabic{enumi}.} +\renewcommand{\labelenumii}{\labelfont\alph{enumii})} +\renewcommand{\labelenumiii}{\labelfont\roman{enumiii}.} +\renewcommand{\labelenumiv}{\labelfont\Alph{enumiv}.} + +\renewcommand{\labelitemi}{\labelfont $\blockfull$} +\renewcommand{\labelitemii}{\labelfont $\blackpointerright$} +\renewcommand{\labelitemiii}{\labelfont $\bullet$} +\renewcommand{\labelitemiv}{\labelfont $\bullet$} + +\setlength{\fboxsep}{1pt} + +\newcommand{\bk}{\color{black}} +\newcommand{\wt}{\color{white}} +\newcommand{\bu}{\color{dark blue}} +\newcommand{\bn}{\color{dark brown}} +\newcommand{\cn}{\color{dark cyan}} +\newcommand{\gy}{\color{dark gray}} +\newcommand{\gn}{\color{dark green}} +\newcommand{\og}{\color{dark orange}} +\newcommand{\pk}{\color{dark pink}} +\newcommand{\pl}{\color{dark purple}} +\newcommand{\rd}{\color{dark red}} +\newcommand{\yo}{\color{dark yellow}} +\newcommand{\tl}{\color{title}} + + + + + + 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