Aufgabe 2

übung_7/aufgabe_2.tex

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-\section{Christofides’ Algorithmus}
-\begin{tasks}
-\item
-	Siehe \autoref{fig:christofides}.
-	\points{4}
-\item
-	Siehe \autoref{fig:checkmate}. Diese Tour kann nicht von \algt{Christofides}
-	berechnet werden, denn egal mit welcher Kante in welche Richtung gestartet
-	wird, nimmt \algt{Cristofides} immer eine Kante in die Tour, die nicht in
-	\autoref{fig:checkmate} ist.
+\section{Eigenschaften von Wurzelspannbäumen}
+\begin{quote}
+	Sei $G = (V, E)$ ein gerichteter Graph und $s \in V$ ein ausgezeichneter Knoten.
 
-	\begin{figure}
-		\centering
-		\includegraphics[page=10, width=0.5\textwidth]{figures.pdf}
-		\caption{Eine kleinere TSP-Tour, die von \algt{Cristofides} nicht berechnet werden kann.}
-		\label{fig:checkmate}
-	\end{figure}
-	\points{1}
-\end{tasks}
-
-{
-\newpage
-\KOMAoptions{mpinclude=false}
-\recalctypearea
+Ein Knoten $w$ ist von einem Knoten $v$ erreichbar, wenn es einen $v–w$-Weg gibt. Die Erreichbarkeitsmenge $E(v)$ eines Knotens $v$ ist die Menge aller Knoten, die von $v$ erreichbar
+sind. Insbesondere ist $v \in E(v)$.
+\end{quote}
 \begin{figure}
 	\centering
-	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
-		\centering
-		\includegraphics[page=1, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
-		\caption{Der gewichtete, vollständige Graph $G$.}
-	\end{subfigure}
-	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
-		\centering
-		\includegraphics[page=2, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
-		\caption{Minimalen Spannbaum finden.}
-	\end{subfigure}
-	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
-		\centering
-		\includegraphics[page=3, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
-		\caption{Knoten $U$ mit ungeraden Graden finden.}
-	\end{subfigure}
-	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
-		\centering
-		\includegraphics[page=4, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
-		\caption{Minimales, perfektes Matching auf $G[U]$ finden.}
-	\end{subfigure}
-	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
-		\centering
-		\includegraphics[page=5, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
-		\caption{Eulertour konstruieren.}
-	\end{subfigure}
-	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
-		\centering
-		\includegraphics[page=6, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
-		\caption{Eulertour konstruieren.}
-	\end{subfigure}
-	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
-		\centering
-		\includegraphics[page=7, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
-		\caption{Eulertour konstruieren.}
-	\end{subfigure}
-	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
-		\centering
-		\includegraphics[page=8, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
-		\caption{Eulertour konstruieren.}
-	\end{subfigure}
-	\begin{subfigure}{.3\linewidth}
-		\centering
-		\includegraphics[page=9, width=0.9\textwidth]{figures.pdf}
-		\caption{Schon besuchte Knoten überspringen. TSP vollständig.}
-	\end{subfigure}
-	\caption{Cristofides' Algorithmus}
-	\label{fig:christofides}
+	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{vw.jpg}
+	\caption{Volkswagen für den Raupengott!}
 \end{figure}
-}
+\begin{tasks}
+	\item
+		\begin{quote}
+			Falls $E(s) = V$, dann besitzt $G$ einen $s$-Wurzelspannbaum.
+		\end{quote}
+
+		Das heißt es existiert ein $s$-$u$-Weg für jeden Knoten $u \in V$.
+		Daraus folgt, dass für jeden Knoten $v \in V \setminus \set{s}: \indeg(v) \geq 1$
+		gilt, also jeder Knoten erreicht werden kann.
+
+		Da es, wenn es einen $s$-$u$-Weg gibt, einen einfachen Weg geben muss,
+		gilt für den, durch die $s$-$u$-Wege induzierten Graphen, dass er kreisfrei ist,
+		also für jeden Knoten $v \in V \setminus \set{s}: \indeg(v) = 1$
+und $\indeg(s) = 0$ gilt.
+
+		Da jeder Knoten erreicht werden kann und der induzierte Graph die
+		$s$-Wurzelbaum-Eigenschaften erfüllt, besitzt $G$ einen $s$-Wurzelspannbaum.
+		\points{3}
+	\item
+		\begin{quote}
+			Wenn $G$ kreisfrei und einen Wurzelspannbaum besitzt, dann ist dieser
+			eindeutig bestimmt.
+		\end{quote}
+		
+		Siehe \autoref{fig:2a}.
+		\points{2}
+		\begin{figure}
+			\centering
+			\includegraphics[page=1, width=0.2\textwidth]{figures.pdf}
+			\caption{Gegenbeispiel mit zwei möglichen Wurzelspannbäumen.}
+			\label{fig:2a}
+		\end{figure}
+
+	\item
+		\begin{quote}
+			Wenn $G$ kreisfrei ist und zwei Wurzelspannbäume besitzt, dann haben beide dieselbe Wurzel.
+		\end{quote}
+
+		Da nur der Knoten $s$ den Eingangsgrad $0$ haben darf, muss dieser Knoten
+		eindeutig sein, da der Graph sonst nicht zusammenhängend wäre und
+		somit keinen $s$-Wurzelspannbaum besitzen würde.
+		\points{2}
+		
+\end{tasks}