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\section{Eigenschaften von Wurzelspannbäumen}
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\begin{quote}
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Sei $G = (V, E)$ ein gerichteter Graph und $s \in V$ ein ausgezeichneter Knoten.
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Ein Knoten $w$ ist von einem Knoten $v$ erreichbar, wenn es einen $v–w$-Weg gibt. Die Erreichbarkeitsmenge $E(v)$ eines Knotens $v$ ist die Menge aller Knoten, die von $v$ erreichbar
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sind. Insbesondere ist $v \in E(v)$.
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\end{quote}
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[width=0.5\textwidth]{vw.jpg}
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\caption{Volkswagen für den Raupengott!}
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\end{figure}
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\begin{tasks}
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\item
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\begin{quote}
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Falls $E(s) = V$, dann besitzt $G$ einen $s$-Wurzelspannbaum.
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\end{quote}
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Das heißt es existiert ein $s$-$u$-Weg für jeden Knoten $u \in V$.
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Daraus folgt, dass für jeden Knoten $v \in V \setminus \set{s}: \indeg(v) \geq 1$
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gilt, also jeder Knoten erreicht werden kann.
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Da es, wenn es einen $s$-$u$-Weg gibt, einen einfachen Weg geben muss,
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gilt für den, durch die $s$-$u$-Wege induzierten Graphen, dass er kreisfrei ist,
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also für jeden Knoten $v \in V \setminus \set{s}: \indeg(v) = 1$
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und $\indeg(s) = 0$ gilt.
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Da jeder Knoten erreicht werden kann und der induzierte Graph die
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$s$-Wurzelbaum-Eigenschaften erfüllt, besitzt $G$ einen $s$-Wurzelspannbaum.
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\points{3}
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\item
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\begin{quote}
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Wenn $G$ kreisfrei und einen Wurzelspannbaum besitzt, dann ist dieser
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eindeutig bestimmt.
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\end{quote}
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Siehe \autoref{fig:2a}.
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\points{2}
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[page=1, width=0.2\textwidth]{figures.pdf}
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\caption{Gegenbeispiel mit zwei möglichen Wurzelspannbäumen.}
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\label{fig:2a}
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\end{figure}
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\item
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\begin{quote}
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Wenn $G$ kreisfrei ist und zwei Wurzelspannbäume besitzt, dann haben beide dieselbe Wurzel.
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\end{quote}
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Da nur der Knoten $s$ den Eingangsgrad $0$ haben darf, muss dieser Knoten
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eindeutig sein, da der Graph sonst nicht zusammenhängend wäre und
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somit keinen $s$-Wurzelspannbaum besitzen würde.
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\points{2}
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\end{tasks}
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