blatt 5 und aufgabe 1

übung_5/aufgabe_1.tex

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+\section{Paarungen (Matchings) in Bäumen}
+\begin{tasks}
+\item
+	\label{1a}
+	Ein Baum ist ein kreisfreier, zusammenhängender Graph. Ein Baum besitzt ein
+	perfektes Matching genau dann, wenn die Anzahl der Knoten gerade ist und
+	jedes Blatt keine Geschwisterknoten hat.
+
+	Die Anzahl der Knoten muss gerade sein, da in einem perfekten Match\-ing jeder
+	Knoten mit einem anderen gematcht wird.
+	
+	Jedes Blatt muss Einzelblatt sein, da der Elternknoten nur mit einem Blatt
+	gematcht werden kann.
+
+	Also ist ein perfektes Matching im Baum eindeutig, da jedes Blatt mit seinem
+	Elternknoten gematcht werden muss. Die Kante ist sicher im Matching enthalten
+	und kann aus dem Graphen entfernt werden. So entsteht ein neues Blatt, für das
+	die selbe Regel gilt.
+	\points{3}
+\item
+	Der \autoref{alg:treematching} berechnet ein größtes Matching.
+
+	Der Algorithmus ist korrekt, da der Baum $T$ entweder eine gerade Anzahl an
+	Knoten hat, und somit ein perfektes Matching berechnet (Siehe \autoref{1a}) oder genau einen Knoten
+	zu wenig hat und somit das größte Matching um eins kleiner ist, als das perfekte
+	Matching des nächst größeren Baums.
+
+	Die Laufzeit liegt in $\Oh(E)$, da jede Kante maximal einmal zum Matching hinzugefügt
+	und dann aus dem Baum entfernt wird.
+	\begin{algorithm}
+		\centering
+		\caption{Größtes Matching in Bäumen}
+		\label{alg:treematching}
+		\begin{algorithmic}
+			\alg{MatchaTee}{$T = \tup{V, E}$} \+ \\
+				\com{Wurzeln} \\
+				$r \gets V[1]$ \\ 
+				\com{Wenn Knoten Blatt ist, dann die Kante zum Elternknoten zurückgeben.} \\
+				if $deg(r) = 1$ then \+ \\
+					\com{Die Kante aus dem Baum entfernen.} \\
+					$E \gets E \setminus \set{\set{r, Adj[r]}}$ \\
+					$V \gets V \setminus \set{r}$ \\
+					return $\set{\set{r, Adj[r]}}$ \- \\
+				\com{Rekursiv für die Kinder aufrufen} \\
+				$m \gets \emptyset$ \\
+				foreach $v \in Adj[r]$ do \+ \\
+				$m \gets m \cup \text{\alg{MatchaTee}{T}}$ \- \\
+				return $m$
+		\end{algorithmic}
+	\end{algorithm}
+	\points{5}
+\item
+	\points{5}
+\end{tasks}