diff --git a/übung_5/agt26-blatt05.pdf b/übung_5/agt26-blatt05.pdf new file mode 100644 index 0000000..aed8d7f Binary files /dev/null and b/übung_5/agt26-blatt05.pdf differ diff --git a/übung_5/agt_übung_5.pdf b/übung_5/agt_übung_5.pdf new file mode 100644 index 0000000..d9498c3 Binary files /dev/null and b/übung_5/agt_übung_5.pdf differ diff --git a/übung_5/agt_übung_5.tex b/übung_5/agt_übung_5.tex new file mode 100644 index 0000000..d678bc4 --- /dev/null +++ b/übung_5/agt_übung_5.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +\documentclass[parskip=half]{ngexrcs} +\usepackage{hyperref} +\setkeys{Gin}{pagebox=artbox, width=0.2\textwidth} + +\subject{Algorithmische Graphentheorie} +\title{5. Übungsblatt} +\author{Jasper Gude \and Pia Röttgers} + +\begin{document} +\maketitle +\points[2em]{25} + +\input{aufgabe_1.tex} +\input{aufgabe_2.tex} +\input{aufgabe_3.tex} + +\end{document} diff --git a/übung_5/aufgabe_1.tex b/übung_5/aufgabe_1.tex new file mode 100644 index 0000000..77ac72d --- /dev/null +++ b/übung_5/aufgabe_1.tex @@ -0,0 +1,54 @@ +\section{Paarungen (Matchings) in Bäumen} +\begin{tasks} +\item + \label{1a} + Ein Baum ist ein kreisfreier, zusammenhängender Graph. Ein Baum besitzt ein + perfektes Matching genau dann, wenn die Anzahl der Knoten gerade ist und + jedes Blatt keine Geschwisterknoten hat. + + Die Anzahl der Knoten muss gerade sein, da in einem perfekten Match\-ing jeder + Knoten mit einem anderen gematcht wird. + + Jedes Blatt muss Einzelblatt sein, da der Elternknoten nur mit einem Blatt + gematcht werden kann. + + Also ist ein perfektes Matching im Baum eindeutig, da jedes Blatt mit seinem + Elternknoten gematcht werden muss. Die Kante ist sicher im Matching enthalten + und kann aus dem Graphen entfernt werden. So entsteht ein neues Blatt, für das + die selbe Regel gilt. + \points{3} +\item + Der \autoref{alg:treematching} berechnet ein größtes Matching. + + Der Algorithmus ist korrekt, da der Baum $T$ entweder eine gerade Anzahl an + Knoten hat, und somit ein perfektes Matching berechnet (Siehe \autoref{1a}) oder genau einen Knoten + zu wenig hat und somit das größte Matching um eins kleiner ist, als das perfekte + Matching des nächst größeren Baums. + + Die Laufzeit liegt in $\Oh(E)$, da jede Kante maximal einmal zum Matching hinzugefügt + und dann aus dem Baum entfernt wird. + \begin{algorithm} + \centering + \caption{Größtes Matching in Bäumen} + \label{alg:treematching} + \begin{algorithmic} + \alg{MatchaTee}{$T = \tup{V, E}$} \+ \\ + \com{Wurzeln} \\ + $r \gets V[1]$ \\ + \com{Wenn Knoten Blatt ist, dann die Kante zum Elternknoten zurückgeben.} \\ + if $deg(r) = 1$ then \+ \\ + \com{Die Kante aus dem Baum entfernen.} \\ + $E \gets E \setminus \set{\set{r, Adj[r]}}$ \\ + $V \gets V \setminus \set{r}$ \\ + return $\set{\set{r, Adj[r]}}$ \- \\ + \com{Rekursiv für die Kinder aufrufen} \\ + $m \gets \emptyset$ \\ + foreach $v \in Adj[r]$ do \+ \\ + $m \gets m \cup \text{\alg{MatchaTee}{T}}$ \- \\ + return $m$ + \end{algorithmic} + \end{algorithm} + \points{5} +\item + \points{5} +\end{tasks} diff --git a/übung_5/aufgabe_2.tex b/übung_5/aufgabe_2.tex new file mode 100644 index 0000000..f25a8e0 --- /dev/null +++ b/übung_5/aufgabe_2.tex @@ -0,0 +1,15 @@ +\section{Hamiltonkreise} +\begin{tasks} +\item + \points{1} +\item + \points{2} +\item + \points{1} +\item + \points{1} +\item + \points{1} +\item + \points{1} +\end{tasks} diff --git a/übung_5/aufgabe_3.tex b/übung_5/aufgabe_3.tex new file mode 100644 index 0000000..e655f9b --- /dev/null +++ b/übung_5/aufgabe_3.tex @@ -0,0 +1,2 @@ +\section{Perfekte Matchings in bipartiten Graphen} +\points{5} diff --git a/übung_5/aufgabe_4.tex b/übung_5/aufgabe_4.tex new file mode 100644 index 0000000..4535a11 --- /dev/null +++ b/übung_5/aufgabe_4.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +\section{Längste Wege} +\begin{tasks} + \item + Da $s, t$ in $G'$ adjazent zu jedem Knoten in $G$ ist, können wir + einen einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k+2$ erzeugen, indem wir + einen einfachen Weg der Länge $k$ in $G$ nehmen, $s$ an das eine Ende und $t$ an das andere Ende hängen. + + Umgekehrt kann man aus einem einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k$ + in $G'$ einen einfachen Weg der Länge $k-2$ in $G$ konstruieren, + indem wir $s$ und $t$ entfernen. + \points{2} + + \item + Ein Hamiltonweg ist ein Weg der alle Knoten in $G$ beinhaltet + und somit Länge $n-1$ besitzt. + + Wie wir oben gezeigt haben, kann ein $s$-$t$-Weg der Länge $n+1$ + in $G'$ leicht in einen Weg der Länge $n-1$ in $G$ umgewandelt + werden. Das heißt, dass wir einen Hamiltonweg in $G$ finden, + wenn wir einen $s$-$t$-Weg finden. + + Umgekehrt können wir einen Hamiltonweg leicht in einen $s$-$t$-Weg + umwandeln, also finden wir einen $s$-$t$-Weg wenn wir einen + Hamiltonweg finden. + + Also finden wir einen Hamiltonweg genau dann, wenn wir einen + $s$-$t$-Weg finden. + \points{1} + + \item + Da wir Hamiltonweg auf \algt{Längster $s$-$t$-Weg} reduziert + haben, muss also \algt{Längster $s$-$t$-Weg} $\NPe$-schwer sein, denn + wenn es in $\Pe$ liegen würde, könnten wir auch Hamiltonweg in + polynomieller Zeit lösen. Da wir nicht von $\Pe = \NPe$ ausgehen, + ist das nicht möglich. + \points{2} + +\end{tasks} diff --git a/übung_5/figures.pdf b/übung_5/figures.pdf new file mode 100644 index 0000000..dac87d0 Binary files /dev/null and b/übung_5/figures.pdf differ diff --git a/übung_5/ngexrcs.cls b/übung_5/ngexrcs.cls new file mode 100644 index 0000000..3d161e3 --- /dev/null +++ b/übung_5/ngexrcs.cls @@ -0,0 +1,71 @@ +% vim: set filetype:tex + +% Identification % +\NeedsTeXFormat{LaTeX2e} +\ProvidesClass{ngexrcs}[2021/12/21 ADS Exercise class] + +% Handle options % +\DeclareOption*{\PassOptionsToClass{\CurrentOption}{scrartcl}} +\ProcessOptions\relax + +% More declarations % +\LoadClass{scrartcl} + +\KOMAoptions{mpinclude=true} +\recalctypearea + +\RequirePackage{ngutils} + +% define fonts +\RequirePackage{fontspec} +\RequirePackage[math-style=upright]{unicode-math} +\setmainfont{TeX Gyre Pagella} +\setsansfont{TeX Gyre Heros} +\setmonofont{TeX Gyre Cursor} +\setmathfont{Euler Math} + +\setlength{\marginparwidth}{1.5\marginparwidth} +\setlength{\fboxrule}{\heavyrulewidth} + +% Use sansfont for all title elements +\addtokomafont{titlehead}{\sffamily} +\addtokomafont{subject}{\sffamily} +\addtokomafont{title}{\sffamily} +\addtokomafont{subtitle}{\sffamily} +\addtokomafont{author}{\sffamily} +\addtokomafont{date}{\sffamily} +\addtokomafont{publishers}{\sffamily} + +% Use serif font for headings +\addtokomafont{disposition}{\rmfamily} + +% Let sections be formated as in: Aufgabe 1 -- Section title +\renewcommand*{\sectionformat}{Aufgabe \thesection\autodot\enskip--\enskip} + +% Let points of an exercise be printed as in: [__ / 2] +\newkomafont{points}{\sffamily} +\newcommand\points[2][1em]{\marginline{\framebox{{\usekomafont{points}\hspace{#1} \textbf{/} #2}}}} + +\newcounter{task} +\renewcommand{\thetask}{\@alph\c@task)} +\newenvironment{tasks} +{ + \begin{list}{\thetask} + { + \usecounter{task} + \setlength{\leftmargin}{1.6em} + } +}{% + \end{list} +} + +\DeclareNewTOC +[ + type=algorithm, + types=algorithms, + float, + floattype=4, + name=Algorithmus, + listname={Algorithmenverzeichnis} +] +{loa} diff --git a/übung_5/ngutils.sty b/übung_5/ngutils.sty new file mode 100644 index 0000000..9427207 --- /dev/null +++ b/übung_5/ngutils.sty @@ -0,0 +1,124 @@ +\NeedsTeXFormat{LaTeX2e} +\ProvidesPackage{ngutils}[2025/12/24 Never's LaTeX utils] + +\RequirePackage[ngerman]{babel} +\RequirePackage{graphicx} +\RequirePackage{tabularx} +\RequirePackage{booktabs} +\RequirePackage{listings} + +\lstnewenvironment{pseudocode}[1][] %defines the algorithm listing environment +{ + \renewcommand{\lstlistingname}{Algorithmus} + \lstset{ %this is the stype + mathescape=true, + columns=fullflexible, + basicstyle=\normalfont, + identifierstyle=\scshape, + keywordstyle=\bfseries, + keywords={, new, if, then, else, while, for, in, to, up, down, foreach, do, return}, + commentstyle=\itshape, + comment=[l]//, + delim=[is][\normalfont]{|}{|}, + tabsize=3, + 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\end{minipage} +} + +\newenvironment{theorem}{ + \begin{theoremic}{Satz.} + }{ + \end{theoremic} +} + +\newenvironment{lemma}{ + \begin{theoremic}{Lemma.} + }{ + \end{theoremic} +} + +\newenvironment{proof}{ + \begin{theoremic}{Beweis.} + }{ + \end{theoremic} +} + +\newenvironment{definition}{ + \begin{theoremic}[\definitionfont]{Definition.} + }{ + \end{theoremic} +} + +\newenvironment{example}{ + \begin{theoremic}[\definitionfont]{Beispiel.} + }{ + \end{theoremic} +} + +