aufgabe 2 und 3

übung_9/aufgabe_2.tex

@@ -25,5 +25,18 @@
 		\end{align*}
 		\points{2}
 	
+	\item
+		Wir führen eine binäre Hilfvariable ein:
+		\[
+			y = \begin{cases}
+				1 & \text{falls } x_1 \leq x_2 - 1 \text{ oder } x_1 - 1 \geq x_2 \\
+				0 & \text{sonst}
+			\end{cases}
+		\]
+		Die Konstante $M$ stellt sicher, dass wir nicht in die Situation $\infty - 1$
+		kommen, was nicht definiert ist.
+
+		Nun können wir $x_1 \neq x_2$ durch $y = 1$ ersetzen.
+		\points{3}
 	
 \end{tasks}

übung_9/aufgabe_3.tex

@@ -1,43 +1,27 @@
-\section{Randomisierte größte Schnitte}
+\section{Perfektes Eliminationsschema}
-\begin{tasks}
+\begin{enumerate}
-\item
+	% \item Kopiere $G$ nach $G$
-	Siehe \autoref{fig:3a}.
+	\item Falls $\abs{V(G)} = 0$, gib das Eliminationsschema zurück. \label{schritt2}
-	\points{2}
+	\item Suche nach nicht erweiterbaren $U$, sodass $G[U]$ zusammenhängend und $U \cup N(U) \neq V(G)$. Das geht mit Breitensuche mit einem beliebigen Startknoten $s$.
-	\begin{figure}
+	\item Wähle aus $W = V(G) \setminus U \cup N(U)$ einen Knoten aus und 
-		\centering
+		füge ihn zum Eliminationsschema hinzu. Lösche diesen Knoten dann aus $G$.
-		\includegraphics[page=2, width=0.5\textwidth]{figures.pdf}
+	\item Gehe zurück zu \autoref{schritt2}.
-		\caption{Gegenbeispiel; Maximaler Schnitt $\tup{S, T}$ und nicht maximaler Schnitt $\tup{\set{v}, V \setminus \set{v}}$}
+\end{enumerate}
-		\label{fig:3a}
-	\end{figure}
 
-\item
+Das die Menge $U$ nicht maximal sondern nur nicht erweiterbar ist, macht die
-	O.B.d.A gilt:
+Folgerung, dass jeder Knoten in $W$ mit jedem in $N(U)$ verbunden ist, nicht kaputt,
+da, wenn es eine Kante zwischen einem Knoten in $N(U)$ und $W$ nicht existiert, $U$
+erweitert werden kann.
 
-	Die Wahrscheinlichkeit dafür das eine Knoten in $S$ gewählt wird ist
+Ebenfalls bleibt die Eigenschaft, dass $N(U)$ eine Clique ist erhalten. Die Argumentation
-	$\frac{1}{2}$.
+ist die selbe, wie zuvor.
 
-	Sei $\set{u, v}$ eine Kante und wurde $u$ in die Menge $S$ gewählt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $v$ in die selbe Menge gewählt wird $\frac{1}{2}$.
+Jeder Knoten in $W$ ist ein simplizialer Knoten in $G[W]$, da, wenn es eine Kante
-	\points{1}
+zwischen zwei Knoten in $W$ nicht gibt, dann $U$ erweitert werden kann.
 
-\item
+Durch Magie wird nicht der gesamte Breitensuchbaum erstellt und die Breitensuche
-	Sei $\tup{S, T}$ ein fester maximaler Schnitt. Dann gibt es eine Menge von Kanten
+läuft in $\oh(\abs{V} + \abs{E}) = \oh(n + n^2)$. Durch die $n$ rekursiven Aufrufe,
-	$\set{e_1, \dots, e_k}$ die den Schnitt kreuzen, also deren Knoten nicht in die selbe
+in denen jeder Knoten einmal zum Eliminationsschema hinzugefügt wird, Läuft der
-	Menge gewählt wurden.
+ganze Algorithmus läuft dadurch in $\oh(n^3)$
-
-	Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Kanten nicht in die selbe Menge gewählt wurden ist also
-	\[
-		1 - \sum_{i = 1}^{k} \frac{1}{2} = 1 - \frac{k}{2}
-	\]
-	\points{2}
-
-\item
-	\[
-	\dots
-	\]
-
-	Die erwartete Anzahl an Kanten, die den Schnitt kreuzen ist mindestens $\frac{\abs{E}}{2}$. Im schechtesten Fall ist der Graph bipartit und alle
-	Kanten kreuzen den maximalen Schnitt. Somit ist \alg*{RandMaxCut} eine $\frac{1}{2}$-Approximation für den maximalen Schnitt.
 \points{4}
 
-
-\end{tasks}

übung_9/ngutils.sty

@@ -51,7 +51,7 @@
 \newcommand{\NPe}{\mathrm{NP}}
 
 \newcommand{\Oh}{\mathcal{O}}
-\newcommand{\oh}{\scriptstyle{\mathcal{O}}}
+\newcommand{\oh}{\mathcal{o}}
 
 \newcommand{\indeg}{\mathrm{indeg}}
 \newcommand{\outdeg}{\mathrm{outdeg}}