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\section{Perfektes Eliminationsschema}
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\begin{enumerate}
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% \item Kopiere $G$ nach $G$
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\item Falls $\abs{V(G)} = 0$, gib das Eliminationsschema zurück. \label{schritt2}
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\item Suche nach nicht erweiterbaren $U$, sodass $G[U]$ zusammenhängend und $U \cup N(U) \neq V(G)$. Das geht mit Breitensuche mit einem beliebigen Startknoten $s$.
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\item Wähle aus $W = V(G) \setminus U \cup N(U)$ einen Knoten aus und
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füge ihn zum Eliminationsschema hinzu. Lösche diesen Knoten dann aus $G$.
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\item Gehe zurück zu \autoref{schritt2}.
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\end{enumerate}
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Das die Menge $U$ nicht maximal sondern nur nicht erweiterbar ist, macht die
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Folgerung, dass jeder Knoten in $W$ mit jedem in $N(U)$ verbunden ist, nicht kaputt,
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da, wenn es eine Kante zwischen einem Knoten in $N(U)$ und $W$ nicht existiert, $U$
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erweitert werden kann.
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Ebenfalls bleibt die Eigenschaft, dass $N(U)$ eine Clique ist erhalten. Die Argumentation
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ist die selbe, wie zuvor.
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Jeder Knoten in $W$ ist ein simplizialer Knoten in $G[W]$, da, wenn es eine Kante
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zwischen zwei Knoten in $W$ nicht gibt, dann $U$ erweitert werden kann.
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Durch Magie wird nicht der gesamte Breitensuchbaum erstellt und die Breitensuche
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läuft in $\oh(\abs{V} + \abs{E}) = \oh(n + n^2)$. Durch die $n$ rekursiven Aufrufe,
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in denen jeder Knoten einmal zum Eliminationsschema hinzugefügt wird, Läuft der
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ganze Algorithmus läuft dadurch in $\oh(n^3)$
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\points{4}
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