Aufgabe 1

übung_7/aufgabe_1.tex

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-\section{LP-Runden}
-\begin{tasks}
-	\item
-		Wir suchen in $U$ nach dem Knoten $v$ mit dem kleinsten $x_v$, unser $\epsilon$,
-		und setzen alle Knoten $u \in U$ auf $x_u - \epsilon$ und alle Knoten $w \in W$
-		auf $\min(x_w~+~\epsilon, 1)$.
+\newcommand{\indeg}{\mathrm{indeg}}
+\newcommand{\outdeg}{\mathrm{outdeg}}
 
-		Das macht unsere Beschränkung $x_u + x_w \geq 1$ nicht kaputt, da ein Nachbar $w$ 
-		von einem Knoten $u \in U$ mindestens den Wert $\frac{1}{2} + \epsilon$ hat,
-		also $1$ ist oder in $W$ liegt.
+\section{Wurzelspannbäume und ungerichtete Bäume}
+\begin{quote}
+	Sei $G = \tup{V, E}$ ein gerichteter Graph und $s$ ein ausgezeichneter Knoten. Zeigen Sie:
 
-		Somit hat sich $\abs{U} + \abs{W}$ um mindestens $1$ verkleinert, da
-		$x_v$ nun $0$ ist und somit nicht in $U \cup W$ liegt und zu $W$ keine
-		weiteren Knoten dazukommen können.
+	Der gerichtete Graph $G$ ist ein $s$-Wurzelspannbaum $\iff$ Der $G$ zugrunde
+	liegende ungerichtete Graph $G'$ ist ein Baum, für jedes
+	$v \in V \setminus \set{s} : \indeg(v) = 1$ und $\indeg(s) = 0$.
+\end{quote}
 
-		Die Veränderungen der Variablen läuft in $\Oh(V)$, da im schlimmsten Fall
-		alle Knoten entweder in $U$ oder in $W$ liegen.
+\begin{itemize}
+	\item[$\implies$]
+		Wenn der Graph $G$ ein $s$-Wurzelspannbaum ist, dann erfüllt er die
+		Eigenschaften eines $s$-Wurzelbaums, also $G$ azyklisch, $v \in V \setminus \set{s} : \indeg(v) = 1$ und $\indeg(s) = 0$. Der zugrunde liegende
+		ungerichtete Graph $G'$ muss also auch azyklisch, also ein Baum, sein.
+	\item[$\seilpmi$]
+		Fall 1: $G'$ ist kein Baum.
+
+		Dann existiert in $G$ entweder ein gerichteter Kreis, was die erste $s$-\-Wurzel\-baum-\-Eigenschaft verletzt, oder ein Knoten $u$
+		hat $indeg(u) > 1$.
+
+		Fall 2: Es existiert ein Knoten $v \in V \setminus \set{s}$ mit $\indeg(v) > 1$.
+
+		Das verletzt die zweite $s$-Wurzelbaum-Eigenschaft. Also kann $G$ kein $s$-\-Wurzel\-spann\-baum sein.
+
+		Fall 3: Der Knoten $s$ hat $\indeg(s) > 0$.
+
+		Das verletzt die dritte $s$-Wurzelbaum-Eigenschaft. Also kann $G$ kein $s$-\-Wurzel\-spann\-baum sein.
 		\points{4}
-	\item
-		\label{1b}
-		Wir teilen die Knoten $v \in V$ in drei Mengen ein.
-		\begin{align*}
-			A = &\set{v \mid x_v \leq \frac{1}{2}-\epsilon} \\
-			B = &\set{v \mid v \notin A \cup C} \\
-			C = &\set{v \mid x_v \geq \frac{1}{2}+\epsilon}
-		\end{align*}
-		Für alle $v \in A$ setzen wir $x_v = 0$, für alle $v \in B$ setzen wir
-		$x_v = \frac{1}{2}$ und für alle $v \in C$ setzen wir $x_v = 1$.
-		Als $\epsilon$ wählen wir das das kleinste $x_v$.
-
-		Das dürfen wir, da wir damit die LP-Beschränkungen aufrechterhalten.
-		\begin{enumerate}
-			\item Für alle Variablen $x_v$ gilt $0 \leq x_v \leq 1$.
-			\item Für alle Paare $v, u$ gilt $x_v + x_u \geq 1$, da
-				
-				Fall 1: O.B.d.A gilt: Wenn $x_v \leq \frac{1}{2} - \epsilon$, dann muss $x_u \geq \frac{1}{2} + \epsilon$, wird $x_v = 0$ und $x_u = 1$.
-
-				Fall 2: Wenn $x_v$ oder $x_u \geq \frac{1}{2} + \epsilon$, werden
-				$x_v$ oder $x_u = 1$.
-
-				Fall 3: Wenn $x_v, x_u \notin A \cup C$, werden $x_v = x_u = \frac{1}{2}$.
-		\end{enumerate}
-		Die Laufzeit beläuft sich auf $\Oh(V)$ da sich das $\min_{v \in V} x_v$ in
-		$\Oh(V)$ Zeit finden und sich jeder Knoten in $\Oh(V)$ in eine
-		der drei Mengen einteilen lassen kann.
-		\points{3}
-	\item
-		Wir nehmen als Basis den Algorithmus aus \autoref{1b}. Um nun eine
-		eindeutige 2-Approximation für die Knotenüberdeckung zu bekommen,
-		runden wir alle $x_v = \frac{1}{2}$ auf $1$ auf.
-		
-		Dadurch erhalten wir eine Lösung die maximal doppelt so viele Knoten
-		enthält, wie eine optimale Lösung, da für ein Knotenpaar $v, u$ für das
-		$x_v = x_u = \frac{1}{2}$ mindestens ein Knoten in der Knotenüberdeckung
-		enthalten sein muss. Wenn wir beide Knoten nehmen, haben wir doppelt so
-		viele.
-		\points{2}
-\end{tasks}
+\end{itemize}