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\section{Randomisierte größte Schnitte}
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\begin{tasks}
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\item
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Siehe \autoref{fig:3a}.
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\points{2}
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[page=2, width=0.5\textwidth]{figures.pdf}
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\caption{Gegenbeispiel; Maximaler Schnitt $\tup{S, T}$ und nicht maximaler Schnitt $\tup{\set{v}, V \setminus \set{v}}$}
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\label{fig:3a}
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\end{figure}
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\item
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O.B.d.A gilt:
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Die Wahrscheinlichkeit dafür das eine Knoten in $S$ gewählt wird ist
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$\frac{1}{2}$.
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Sei $\set{u, v}$ eine Kante und wurde $u$ in die Menge $S$ gewählt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $v$ in die selbe Menge gewählt wird $\frac{1}{2}$.
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\points{1}
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\item
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Sei $\tup{S, T}$ ein fester maximaler Schnitt. Dann gibt es eine Menge von Kanten
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$\set{e_1, \dots, e_k}$ die den Schnitt kreuzen, also deren Knoten nicht in die selbe
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Menge gewählt wurden.
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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Kanten nicht in die selbe Menge gewählt wurden ist also
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\[
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1 - \sum_{i = 1}^{k} \frac{1}{2} = 1 - \frac{k}{2}
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\]
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\points{2}
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\item
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\[
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\dots
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\]
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Die erwartete Anzahl an Kanten, die den Schnitt kreuzen ist mindestens $\frac{\abs{E}}{2}$. Im schechtesten Fall ist der Graph bipartit und alle
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Kanten kreuzen den maximalen Schnitt. Somit ist \alg*{RandMaxCut} eine $\frac{1}{2}$-Approximation für den maximalen Schnitt.
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\points{4}
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\end{tasks}
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