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2.5 KiB
TeX
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\section{Matchings in allgemeinen Graphen}
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\begin{tasks}
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\item
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\begin{pseudocode}
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Matchings($G = \tup(V, E)$)
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$M = \emptyset$
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$visited =$ |Array von $False$ der Größe| $|V|$ // Markiert gematchte Knoten
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for $e$ in $E$ do
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if $\neg visited[u] \wedge \neg visited[v]$ then
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$M = M \cup \{e\}$
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$visited[u] = True$
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$visited[v] = True$
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return $M$
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\end{pseudocode}
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Angenommen $M$ wäre erweiterbar (d.h. es gibt eine Kante $\{u,v\}$ mit $u,v \notin V(M)$). Dann wurden sowohl $u$ als auch $v$ während des Algorithmus beim Durchlaufen der Kante $\{u,v\}$ als frei angesehen und wäre somit der Menge $M$ hinzugefügt worden. Das ist eine Widerspruch.
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\textbf{Laufzeit:}
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Initialisierung des Arrays: $\Oh(V)$
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Schleife: Jede Kante wird genau einmal betrachtet ($\Oh(V)$) und die Überprüfung und Markierung passieren in $\Oh(1)$. Also insgesamt $\Oh(E)$
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Das ergibt eine Gesamtlaufzeit von $\Oh(V+E)$
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\points{3}
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\item
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\points{2}
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\item
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Sei $M$ das vom Algorithmus berechnete maximale Matching und $M^*$ das optimale maximale Matching.
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Für jede Kante $e^*=\{u,v\}\in M^*$ gilt: mindestens einer der beiden Knoten $u$ oder $v$ muss über eine Kante aus $M$ abgedeckt werden, sonst wäre der $M$ nicht nicht-erweiterbar.
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Eine Kante aus $M$ hat genau zwei Endknoten und kann daher höchstens zwei verschiedene Kanten aus $M^*$ ,,blockieren``. Da alle Kanten in $M^*$ disjunkt sind kann man daraus folgern:
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\[
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\abs{M^*} \leq 2\cdot \abs{M} \implies \abs{M} \geq \frac{1}{2} \abs{M^*}
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\]
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Somit ist der Algorithmus aus der Teilaufgabe a) eine 1/2 Approximation für ein optimales Matching.
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\points{3}
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\item
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Zielfunktion:
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\[
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\arg\min \sum_{e\in E} x_e \geq 1
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\]
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Entscheidungsvariablen: für jede Kante $e\in E$:
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\[
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x_e\in\{0,1\}\quad \forall e\in E
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\]
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Die Variable nimmt den Wert 1 an, wenn die Kante im Matching M ist und 0 falls sie das nicht ist.
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Nebenbedingungen:
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\begin{enumerate}
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\item
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Matching: Jeder Knoten darf von maximal einer Matching-Kante berührt werden
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\[
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\forall v\in V \colon \sum_{e\in \delta(v)}x_e\leq1
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\]
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$\delta(v)$ ist die Menge aller Kanten welche an $v$ anliegen
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\item Nicht-Erweiterbarkeit: Für jede Kante $\{u,v\}$ muss die Summe der Matching-Kanten an $u$ und $v$ mindestens 1 sein
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\[
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\forall \{u,v\} \in E \colon \sum_{e \in \delta(u)} x_e + \sum_{e' \in \delta(v)} x_e' \geq 1
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\]
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$\delta(v)$ ist die Menge aller Kanten welche an $v$ anliegen. Äquivalent für $\delta(u)$.
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\end{enumerate}
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\points{3}
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\item
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\points{2}
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\end{tasks}
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