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TeX
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\section{Eulerwege}
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\begin{quote}
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Sei $G = \tup{V, E}$ ein ungerichteter, zusammenhängender Graph. Dann gilt: $G$ hat genau
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dann einen Eulerweg, wenn die Anzahl an Knoten $v \in V$, für die gilt, dass $deg(v)$
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ungerade ist, genau $0$ oder $2$ ist.
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\end{quote}
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\begin{itemize}
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\item[$\seilpmi$]
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1. Fall: $0$ Knoten mit ungeradem Grad. Nach dem Satz in der Vorlesung
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gibt es einen Eulerkreis. Im Eulerweg sind also Start- und Endknoten
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identisch.
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2. Fall: $2$ Knoten mit ungeradem Grad. Die beiden Knoten bilden den Start-
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und Endknoten des Eulerwegs. Die Kante die den Eulerkreis schließen würde
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braucht genau zwei Knoten, zu denen sie inzident ist. Nehmen wir diese Kante
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weg, ergibt sich eine ungerader Grad an diesen beiden Knoten.
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\item[$\implies$]
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Ein Graph mit ungerader Anzahl an Knoten mit ungeradem Grad kann nicht
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existieren, da die Summe aller Knoten mit ungeradem Grad gerade ist.
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Für alle anderen Fälle gilt, wenn ein Knoten ungeraden Grad hat, dann gibt
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es keinen Weg aus dem Knoten heraus, wenn man hineingelaufen ist.
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\end{itemize}
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\points{4}
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