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TeX
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\section{Knotengrade}
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\begin{tasks}
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\item
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Einen solchen Graph gibt es. Siehe \autoref{fig:task1a}.
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\points{3}
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[page=2, width=0.8\textwidth]{figures.pdf}
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\caption{Ein Graph mit 11 Knoten und Knotengraden 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 10.}
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\label{fig:task1a}
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\end{figure}
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\item
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Das Problem kann als Maximalflussproblem modelliert werden. Dafür haben wir
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eine Quelle $s$, eine Senke $t$ und Knoten $v_{i_{e/a}}$ mit $i \in \NN_{\leq n}$.
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Die Eingangskapazität eines Knoten $v_{i_a}$ entspricht dem Ausgangsgrad $a_i$.
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Die Ausgangskapazität eines Knoten $v_{i_e}$ entspricht dem Eingangsgrad $e_i$.
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Für die Kantenkapazität $c \in \NN$ einer Kante $\tup{v_{i_a}, v_{j_e}}$ mit $i, j \leq n$ gilt,
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wenn $i = j$, sind Selbstkanten erlaubt, wenn $c > 0$.
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Ausserdem sind Mehrfachkanten erlaubt, wenn $c > 1$.
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Siehe \autoref{fig:task1b}.
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Wenn es einen vollständigen Fluss gibt, also alle in $t$ eingehenden Kanten vollständig benutzt werden, gibt es eine Lösung für das Problem,
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sonst nicht.
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\points{4}
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[page=3, width=0.8\textwidth]{figures.pdf}
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\caption{Das Problem als Maximalflussproblem.}
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\label{fig:task1b}
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\end{figure}
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\item
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Die Modellierung ist korrekt, da die Eingangs- und Ausgangsgrade der Knoten
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$v_i$ im Graphen durch die Kantenkapazitäten $a_i$ und $e_i$ Fluss beschränkt werden.
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Durch wählen der Kantenkapazitäten der Kanten $(v_{i_a}, v_{j_e})$ im Fluss
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können Selbst- und Mehrfachkanten ein- oder ausgeschlossen werden.
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Damit entsprechen diese Kanten im Fluss den Kanten im Graphen.
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\points{2}
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\end{tasks}
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