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2.2 KiB
TeX
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\section{Wurzelspannbäume in azyklischen Graphen}
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\begin{tasks}
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\item
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Siehe \autoref{fig:3a}.
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\points{2}
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\begin{figure}
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\centering
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\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[page=2, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
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\end{subfigure}
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\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[page=3, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
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\end{subfigure}
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\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[page=4, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
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\end{subfigure}
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\caption{Gegenbeispiel: Jarnik-Prim in orange und Optimale Lösung in blau.}
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\label{fig:3a}
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\end{figure}
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\item
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Siehe \autoref{fig:3b}.
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\points{2}
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\begin{figure}
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\centering
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\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[page=5, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
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\end{subfigure}
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\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[page=6, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
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\end{subfigure}
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\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[page=7, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
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\end{subfigure}
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\caption{Gegenbeispiel: Kruskal in orange und Optimale Lösung in blau.}
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\label{fig:3b}
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\end{figure}
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\item
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\alg*{DagMst} nimmt für jeden Knoten $v \in V \setminus \set{s}$ die
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Kante $\tup{u, v}$ mit minimalen Kosten in den $s$-Wurzelspannbaum.
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Dadurch, dass genau eine Kante $\tup{u, v}$ für jeden Knoten $v$ ausgewählt
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wird, hat jeder Knoten $\indeg(v) = 1$ und $\indeg(s) = 0$.
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Insbesondere ist auch jede Kante
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eine ausgehende Kante eines anderen Knotens, und weil genau $n-1$ Kanten ausgewählt werden, muss der Graph $T$ zusammenhängend sein.
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Da $G$ azyklisch ist, muss auch $T$ azyklisch sein. Also berechnet \alg*{DagMst} einen $s$-Wurzelspannbaum.
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\points{3}
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\item
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Sei $T$ ein Wurzelspannbaum der von \alg*{DagMst} berechnet wurde.
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Angenommen es gibt einen Wurzelspannbaum $T'$ der kleiner als $T$ ist,
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dann muss es einen Knoten $v$ geben mit Eingangskantenkosten
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\[
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c(\tup{u', v}) < c(\tup{u, v})
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\]
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Das ist ein Widerspruch, da \alg*{DagMst} immer die minimale Kante $\tup{u, v}$ nimmt.
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\points{2}
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\end{tasks}
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