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\section{b-Flüsse}
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\begin{tasks}
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\item Damit überhaupt ein gültiger $s$-$t$ Fluss existieren kann, muss $$\sum_{v\in V}b(v)=0$$ gelten, da die Flusserhaltung gegeben sein muss.\\
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Man erweitert den Graphen $G=(V,E)$ um eine künstliche Quelle $s$ und eine künstliche Senke $t$, welche man mit den schon vorhandenen ''Quellen'' ($b(v)<0$) und ''Senken''($b(v)>0$) verbindet. Als Kapazität der Kanten wählt man $|b(v)|$.\\
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Die vorher bereits vorhandenen Kanten zwischen den Knoten bleiben natürlich mit ihrer Kapazität vorhanden.\\
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Ein Zulässiger b-Fluss existiert genau dann, wenn der maximale s-t-Fluss im erweiterten Graphen G' genau
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$$\sum_{v:b(v)>0}b(v)$$
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entspricht, da dann alle neuen von $s$ ausgehenden Kanten vollständig ausgelastet sind.
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\points{4}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Sei $f$ ein zulässiger b-Fluss in $G$. Man definiert $f'$ auf $G'$ durch:
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$$
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f'(e)= \begin{cases}
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f(e) &e\in E\\
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b(v) &e=(s\rightarrow v), b(v) >0\\
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-b(v) &e=(v\rightarrow t), b(v) <0\\
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\end{cases}
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$$
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Für jeden Knoten $v\in V$ gilt in $G'$:
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$$\textnormal{Nettozufluss}_{f'}(v)=\textnormal{Nettozufluss}_{f}(v)-b(v)=0$$
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Also ist $f'$ ein zulässiger $s$-$t$-Fluss mit Wert $|f'|=\sum_{v:b(v)>0}b(v)$
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\item Sei $f'$ ein $s$-$t$-Fluss in $G'$. Da sein Wert maximal ist, sind alle Kanten zu $s$ und $t$ voll ausgelastet.\\
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Für die Einschränkung $f:=f'\vert_E$ betrachtet man die Flusserhaltung jedes Knotens $v\in V$ in $G'$:
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\begin{align*}
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\textnormal{Nettozufluss}_f(v) &= \textnormal{Nettozufluss}_{f'}(v)-[\textnormal{Beitrag der neuen Kante]} \\
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&= 0-(-b(v)) \\
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&= b(v)
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\end{align*}
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Also ist $f$ ein zulässiger b-Fluss in $G$.
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\end{enumerate}
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\points{2}
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\end{tasks}
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