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TeX
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\section{Chromatische Zahl}
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\begin{tasks}
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\item
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Angenommen der Graph $G$ ist vollständig. So hat jeder Knoten den maximalen
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Knotengrad $\Delta(G)$. Für alle Knoten $v$ gilt, dass jeder adjazente
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Knoten und $v$ eine eigene Farbe haben muss. Das sind also $\Delta(G) + 1$
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viele. Jeder Graph (mit weniger Kanten) hat also eine chromatische Zahl
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$\chi(G) \leq \Delta(G) + 1$.
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\points{2}
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\item
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Für alle Anzahlen an Knoten $n \in \NN$ und Maximalgrad $\Delta < n$ existiert ein
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Graph $G_{n,\Delta}$ mit $\chi(G_{n,\Delta}) = \Delta + 1$. Dieser Graph
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hat eine Clique der Größe $\Delta$.
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\points{2}
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\item
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\begin{align*}
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& \text{Variablen:} & x_1, \dots, x_{n} \in \set{1, \dots, \Delta + 1} \\
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&&\text{Jeder Knoten hat eine Farbe} \\
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& \text{Zielfunktion:} & \argmin \sum_{i=1}^{n} x_i \\
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&&\text{Es werden so wenig Farben wie möglich benutzt} \\
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& \text{Nebenbedingung:} & \forall ab \colon x_a \neq x_b \\
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&&\text{Die Knoten einer Kante haben nicht die selbe Farbe}
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\end{align*}
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\points{2}
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\item
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Wir führen eine binäre Hilfvariable ein:
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\[
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y = \begin{cases}
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1 & \text{falls } x_1 \leq x_2 - 1 \text{ oder } x_1 - 1 \geq x_2 \\
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0 & \text{sonst}
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\end{cases}
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\]
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Die Konstante $M$ stellt sicher, dass wir nicht in die Situation $\infty - 1$
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kommen, was nicht definiert ist.
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Nun können wir $x_1 \neq x_2$ durch $y = 1$ ersetzen.
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\points{3}
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\end{tasks}
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