50 lines
1.7 KiB
TeX
50 lines
1.7 KiB
TeX
\section{Dreifärbarkeit}
|
|
\begin{tasks}
|
|
\item
|
|
Siehe \autoref{fig:1a}.
|
|
\points{1}
|
|
|
|
\begin{figure}
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[page=1, width=0.5\textwidth]{figures.pdf}
|
|
\caption{Dreifärbung des Sterngraphs.}
|
|
\label{fig:1a}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\item
|
|
Da die Knoten, die zwei Türme miteinander verbinden, die selbe Farbe haben,
|
|
kann man zwischen zwei Türme einen weiteren Turm einfügen, der die
|
|
Färbbarkeitsregeln nicht verletzt.
|
|
|
|
Die Knoten mit Grad 2 im Sterngraphen sind die Spitzen der Türme.
|
|
Da die Turmverbindungsknoten alle die selbe Farbe haben müssen und die
|
|
zu ihnen ajazenten Knoten jeweils unterschiedlich gefärbt sein müssen,
|
|
da sie selbst adjazent zueinander sind, müssen die Spitzen die letzte
|
|
freie Farbe bekommen.
|
|
\points{2}
|
|
|
|
\item
|
|
Um das Problem 3COL auf das Problem 3COL4 zu reduzieren, müssen wir
|
|
dafür sorgen, dass Knoten mit Grad größer $4$ so aufgelöst werden, dass
|
|
sie maximal Grad $4$ haben.
|
|
|
|
Dazu machen wir uns zu nutze, dass der Sterngraph beliebig erweiterbar
|
|
ist und somit beliebig viele Knoten mit Grad $2$ hat, die alle die
|
|
selbe Farbe haben müssen.
|
|
|
|
Einen Knoten $v$ mit Grad $m > 4$ ersetzen wir durch einen Stern mit $m$
|
|
Zacken. Die zu $v$ adjazenten Kanten verbinden wir mit den Spitzen des
|
|
Sterns.
|
|
|
|
Jetzt haben wir einen Graphen mit Maximalgrad $4$ auf dem wir \alg*{Test3COL4}
|
|
anwenden können.
|
|
|
|
Beim Rückübersetzen können wir die Sterne wieder durch einen einzigen Knoten
|
|
ersetzen, der die Farbe der Spitzen hat. Da diese die selbe Farbe haben,
|
|
verletzt das nicht die Färbbarkeitsregel.
|
|
|
|
Da 3COL NP-vollständig ist, muss also 3COL4 und insbesondere auch \alg*{Test3COL4}
|
|
auch NP-vollständig sein.
|
|
\points{4}
|
|
|
|
\end{tasks}
|