\section{Randomisierte größte Schnitte}
\begin{tasks}
\item
	Siehe \autoref{fig:3a}.
	\points{2}
	\begin{figure}
		\centering
		\includegraphics[page=2, width=0.5\textwidth]{figures.pdf}
		\caption{Gegenbeispiel; Maximaler Schnitt $\tup{S, T}$ und nicht maximaler Schnitt $\tup{\set{v}, V \setminus \set{v}}$}
		\label{fig:3a}
	\end{figure}

\item
	O.B.d.A gilt:

	Die Wahrscheinlichkeit dafür das eine Knoten in $S$ gewählt wird ist
	$\frac{1}{2}$.
	
	Sei $\set{u, v}$ eine Kante und wurde $u$ in die Menge $S$ gewählt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $v$ in die selbe Menge gewählt wird $\frac{1}{2}$.
	\points{1}

\item
	Sei $\tup{S, T}$ ein fester maximaler Schnitt. Dann gibt es eine Menge von Kanten
	$\set{e_1, \dots, e_k}$ die den Schnitt kreuzen, also deren Knoten nicht in die selbe
	Menge gewählt wurden.

	Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Kanten nicht in die selbe Menge gewählt wurden ist also
	\[
		1 - \sum_{i = 1}^{k} \frac{1}{2} = 1 - \frac{k}{2}
	\]
	\points{2}

\item
	\[
	\dots
	\]

	Die erwartete Anzahl an Kanten, die den Schnitt kreuzen ist mindestens $\frac{\abs{E}}{2}$. Im schechtesten Fall ist der Graph bipartit und alle
	Kanten kreuzen den maximalen Schnitt. Somit ist \alg*{RandMaxCut} eine $\frac{1}{2}$-Approximation für den maximalen Schnitt.
	\points{4}


\end{tasks}
