\section{Längste Wege}
\begin{tasks}
	\item
	Da $s, t$ in $G'$ adjazent zu jedem Knoten in $G$ ist, können wir
	einen einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k+2$ erzeugen, indem wir
	einen einfachen Weg der Länge $k$ in $G$ nehmen, $s$ an das eine Ende und $t$ an das andere Ende hängen.
	
	Umgekehrt kann man aus einem einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k$
	in $G'$ einen einfachen Weg der Länge $k-2$ in $G$ konstruieren,
	indem wir $s$ und $t$ entfernen.
	\points{2}
	
	\item
	Ein Hamiltonweg ist ein Weg der alle Knoten in $G$ beinhaltet
	und somit Länge $n-1$ besitzt.
	
	Wie wir oben gezeigt haben, kann ein $s$-$t$-Weg der Länge $n+1$
	in $G'$ leicht in einen Weg der Länge $n-1$ in $G$ umgewandelt 
	werden. Das heißt, dass wir einen Hamiltonweg in $G$ finden,
	wenn wir einen $s$-$t$-Weg finden.
	
	Umgekehrt können wir einen Hamiltonweg leicht in einen $s$-$t$-Weg
	umwandeln, also finden wir einen $s$-$t$-Weg wenn wir einen
	Hamiltonweg finden.
	
	Also finden wir einen Hamiltonweg genau dann, wenn wir einen
	$s$-$t$-Weg finden.
	\points{1}
	
	\item
	Da wir Hamiltonweg auf \algt{Längster $s$-$t$-Weg} reduziert
	haben, muss also \algt{Längster $s$-$t$-Weg} $\NPe$-schwer sein, denn
	wenn es in $\Pe$ liegen würde, könnten wir auch Hamiltonweg in
	polynomieller Zeit lösen. Da wir nicht von $\Pe = \NPe$ ausgehen,
	ist das nicht möglich.
	\points{2}
	
\end{tasks}