\documentclass{ngexrcs}
\usepackage{hyperref}

\title{1. Übungsblatt}
\subject{Algorithmische Graphentheorie}
\author{Jasper Gude}

\begin{document}
\maketitle
\points[\qquad]{20}
\section{Spannbäume \& Breitensuche}
Sei $G = \tup{V, E}$ ein zusammenhängender Graph mit Kantengewichten $w: E \to \NN$
und $s \in V \deg$ ein ausgezeichneter Knoten.
\begin{enumerate}
    \item 
        \begin{quote}
        Wenn $w(e) = 1$ für alle $e \in E$, dann ist der Breitensuchbaum mit
        Quelle $s$ ein minimaler Spannbaum.
        \end{quote}
        Die Breitensuche berechnet in diesem
        Fall den kürzesten Weg von jedem Knoten zum Knoten $s$, also den
        Breitensuchbaum. Dieser spannt also einen minimalen Spannbaum auf.
        \points{2}
    \item
        \begin{quote}
        Wenn $w(e) = 1$ für alle $e \in E$, dann ist jeder minimale Spannbaum
        von $G$ ein Breitensuchbaum mit Quelle $s$.
        \end{quote}
        Falsch, siehe \autoref{fig:msb}.
        \begin{figure}[h]
            \centering
            \includegraphics[width=0.2\textwidth]{msb.eps}
            \caption{$\pi$-Zeiger des Breitensuchbaums und MSB blau hinterlegt.}
            \label{fig:msb}
        \end{figure}
    \item 
        \begin{quote}
        Wenn $w(e) \in \set{1, 2, 3}$ für alle $e \in E$, dann ist jeder minimale
        Spannbaum von $G$ ein Tiefensuchbaum mit Quelle $s$.
        \end{quote}
        Sei $w(e) = 1$ für
        alle $e \in E$ so gilt das Gegenbeispiel von oben. Also ist die Aussage
        falsch.
\end{enumerate}

\section{Kreissuche}

\section{Eulerwege}

\section{Graphmodellierung}

\end{document}