Aufgabe 2

AGT_Folien/Zusammenfassung.tex

@@ -0,0 +1,51 @@
+\documentclass[a4paper,abstract,german,10pt]{scrreprt}
+
+\usepackage[german]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{lmodern}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{bm}
+\usepackage{amsmath}
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+\usepackage[most]{tcolorbox}
+
+\setlength{\parindent}{0pt} 
+
+\begin{document}
+	
+\title{AGT Zusammenfasssung SS26}
+	
+\chapter{Wiederholung aus ADS}
+
+\section*{Definitionen}
+	\textbf{Was ist ein Graph?}\\
+	Ein Grapg G ist ein Tupel (V(G), E(G)) wobei 
+	\begin{itemize}
+		\item V(G) die Knotenmenge und
+		\item \textit{ungerichtet:} E(G) $\subseteq\binom{V}{2}=\{\{u,v\}\subseteq V(G) | u\neq v\}$ die Kantenmenge ist.
+		\item \textit{gerichtet:} E(G)$\subseteq V(G)\times V(G)=\{(u,v) | u,v \in V(G), u\neq v\}$ die Knatenmenge ist.
+	\end{itemize}
+	
+	\textbf{Wie repräsentiert man einen Graphen?}\\
+	Mit \textbf{Adjazenlisten}, wenn es darum geht alle Kanten eines Knotens zu finden oder mit einer \textbf{Adjazenzmatrix} wenn es darum geht eine bestimmte Kante zu finden/überprüfen.\\\\
+	
+	\textbf{Grad eines Knotens}\\
+	
+	
+	\section*{Graphendurchlauf-Strategien}
+	
+	\section*{Berechnung kürzester Wege}
+	
+	\section*{Minimale Spannbäume}
+	
+	
+		
+\end{document}

agt_übung2.py

@@ -0,0 +1,32 @@
+from pulp import *
+
+def min_vertexcover(nodes, edges):
+    #Problemdefinition
+    prob = LpProblem("Kleinste Knotenüberdeckung", LpMinimize)
+
+    #Binäre Variablen
+    x = {v: LpVariable(f"x_{v}", cat=LpBinary) for v in nodes}
+
+    #Zielfunktion
+    prob += lpSum(x[v] for v in nodes)
+
+    #Nebenbedingung
+    for u,v in edges:
+        prob += x[u] + x[v] >=1, f"Kante_{u}_{v}"
+    
+    #Lösen mit gurobi
+    prob.solve(GUROBI())
+
+    #Ergebnis
+    status = LpStatus[prob.status]
+    vertex_cover = [v for v in nodes if value(x[v]) == 1]
+
+    return status, vertex_cover, value(prob.objective)
+
+nodes_test = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E']
+edges_test = [('A', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'C'), ('B', 'D'), ('C', 'D'), ('D', 'E')]
+
+status, cover, size = min_vertexcover(nodes_test, edges_test)
+print(f"Status: {status}")
+print(f"Minimale Knotenüberdeckung: {cover}")
+print(f"Größe der Überdeckung: {size}")

übung_4/aufgabe_2.tex

@@ -1,5 +1,30 @@
 \section{b-Flüsse}
 \begin{tasks}
+\item Damit überhaupt ein gültiger $s$-$t$ Fluss existieren kann, muss $$\sum_{v\in V}b(v)=0$$ gelten, da die Flusserhaltung gegeben sein muss.\\
+Man erweitert den Graphen $G=(V,E)$ um eine künstliche Quelle $s$ und eine künstliche Senke $t$, welche man mit den schon vorhandenen ''Quellen'' ($b(v)<0$) und ''Senken''($b(v)>0$) verbindet. Als Kapazität der Kanten wählt man $|b(v)|$.\\
+Die vorher bereits vorhandenen Kanten zwischen den Knoten bleiben natürlich mit ihrer Kapazität  vorhanden.\\
+Ein Zulässiger b-Fluss existiert genau dann, wenn der maximale s-t-Fluss im erweiterten Graphen G' genau 
+$$\sum_{v:b(v)>0}b(v)$$
+entspricht, da dann alle neuen von $s$ ausgehenden Kanten vollständig ausgelastet sind. 
+\points{4}
+
 \item 
-\item
+\begin{enumerate}
+	\item Sei $f$ ein zulässiger b-Fluss in $G$. Man definiert $f'$ auf $G'$ durch:
+	$$
+	f'(e)= \begin{cases}
+		f(e) &e\in E\\
+		b(v) &e=(s\rightarrow v), b(v) >0\\
+		-b(v) &e=(v\rightarrow t), b(v) <0\\
+		\end{cases}
+	$$
+	Für jeden Knoten $v\in V$ gilt in $G'$:
+	$$\textnormal{Nettozufluss}_{f'}(v)=\textnormal{Nettozufluss}_{f}(v)-b(v)=0$$
+	Also ist $f'$ ein zulässiger $s$-$t$-Fluss mit Wert $|f'|=\sum_{v:b(v)>0}b(v)$
+	\item Sei $f'$ ein $s$-$t$-Fluss in $G'$. Da sein Wert maximal ist, sind alle Kanten zu $s$ und $t$ voll ausgelastet.\\
+	Für die Einschränkung $f:=f'\vert_E$ betrachtet man die Flusserhaltung jedes Knotens $v\in V$ in $G'$:
+	$$\textnormal{Nettozufluss}_f(v)=\textnormal{Nettozufluss}_{f'}(v)-[\textnormal{Beitrag der neuen Kante]}=0-(-b(v))=b(v)$$
+	Also ist $f$ ein zulässiger b-Fluss in $G$.
+\end{enumerate}
+\points{2}
 \end{tasks}