blatt 11

übung_10/aufgabe_2.tex

@@ -73,6 +73,8 @@
 			\Oh\parens{n^2 + n^3 + \overbrace{\binom{k^4}{k} \cdotp n}^\text{Für jede Auswahl an Geraden alle Punkte prüfen}}
 		\]
 		Das liegt in FPT.
+
+		Es wäre noch zu zeigen, was im Fall $C \neq \emptyset$ und $k < \sqrt{n}$ passiert. Das jedoch bleibt dem Leser als Übungsaufgabe überlassen.
 		\points{5}
 
 

übung_11/agt_übung_11.tex

@@ -0,0 +1,18 @@
+\documentclass[parskip=half]{ngexrcs}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{subcaption}
+\setkeys{Gin}{pagebox=artbox, width=0.8\textwidth}
+
+\subject{Algorithmische Graphentheorie}
+\title{11. Übungsblatt}
+\author{Jasper Gude \and Pia Röttgers}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\points[2em]{20}
+
+\input{aufgabe_1.tex}
+\input{aufgabe_2.tex}
+\input{aufgabe_3.tex}
+
+\end{document}

übung_11/aufgabe_1.tex

@@ -0,0 +1,14 @@
+\section{Maximal planare und nicht-planare Graphen}
+\begin{tasks}
+	\item
+
+	\item
+		Siehe \autoref{fig:1b}.
+		\begin{figure}
+			\centering
+			\includegraphics[page=1, width=0.33\textwidth]{figures.pdf}
+			\caption{Gegenbeispiel; $K_{3,3}$ hat $9 < 12 = 3 \cdot 6 - 6 $ Kanten und ist nicht planar.}
+			\label{fig:1b}
+		\end{figure}
+	
+\end{tasks}

übung_11/aufgabe_2.tex

@@ -0,0 +1,32 @@
+\section{Planare Zeichnungen}
+\begin{tasks}
+\item $G_1$ hat $7$ Knoten, $11 < 15 = 3 \cdotp 7 - 6$ Kanten und die Facetten
+	\[
+		\set{u, x, v, t}, \set{t, v, y, w}, \set{x, y, v}, \set{u, z, t}, \set{t, z, w}
+	\]
+	also $5 < 10 =2 \cdotp 7 - 4$ Facetten. Somit ist der Graph $G_1$ planar.
+
+	$G_2$ kann man sich als das Skelett eines konvexen, beschränkten Polyeders vorstellen.
+	Wenn man sich wie in \autoref{fig:2a} vorstellt, eine Kugel in den Graphen zu legen und sich überlegt, welche Kanten von einer Seite sichtbar sind, dann sieht man schnell, dass der Graph konvex und beschränkt ist und somit planar ist.
+	\points{3}
+
+	\begin{figure}
+		\centering
+		\includegraphics[page=2]{figures.pdf}
+		\caption{Skelett des konvexen, beschränkten Polyeders.}
+		\label{fig:2a}
+	\end{figure}
+
+	\item Siehe \autoref{fig:2c}.
+		\points{3}
+
+	\item Siehe \autoref{fig:2c}.
+		\points{1}
+
+	\begin{figure}
+		\centering
+		\includegraphics[page=3]{figures.pdf}
+		\caption{Die Platine kann so gebaut werden. Die durchgezogenen Leitungen verlaufen auf der Oberseite. Die gestrichelten verlaufen auf der Unterseite.}
+		\label{fig:2c}
+	\end{figure}
+\end{tasks}

übung_11/aufgabe_3.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\section{Planare Graphen}
+

übung_11/aufgabe_4.tex

@@ -0,0 +1,38 @@
+\section{Längste Wege}
+\begin{tasks}
+	\item
+	Da $s, t$ in $G'$ adjazent zu jedem Knoten in $G$ ist, können wir
+	einen einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k+2$ erzeugen, indem wir
+	einen einfachen Weg der Länge $k$ in $G$ nehmen, $s$ an das eine Ende und $t$ an das andere Ende hängen.
+	
+	Umgekehrt kann man aus einem einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k$
+	in $G'$ einen einfachen Weg der Länge $k-2$ in $G$ konstruieren,
+	indem wir $s$ und $t$ entfernen.
+	\points{2}
+	
+	\item
+	Ein Hamiltonweg ist ein Weg der alle Knoten in $G$ beinhaltet
+	und somit Länge $n-1$ besitzt.
+	
+	Wie wir oben gezeigt haben, kann ein $s$-$t$-Weg der Länge $n+1$
+	in $G'$ leicht in einen Weg der Länge $n-1$ in $G$ umgewandelt 
+	werden. Das heißt, dass wir einen Hamiltonweg in $G$ finden,
+	wenn wir einen $s$-$t$-Weg finden.
+	
+	Umgekehrt können wir einen Hamiltonweg leicht in einen $s$-$t$-Weg
+	umwandeln, also finden wir einen $s$-$t$-Weg wenn wir einen
+	Hamiltonweg finden.
+	
+	Also finden wir einen Hamiltonweg genau dann, wenn wir einen
+	$s$-$t$-Weg finden.
+	\points{1}
+	
+	\item
+	Da wir Hamiltonweg auf \algt{Längster $s$-$t$-Weg} reduziert
+	haben, muss also \algt{Längster $s$-$t$-Weg} $\NPe$-schwer sein, denn
+	wenn es in $\Pe$ liegen würde, könnten wir auch Hamiltonweg in
+	polynomieller Zeit lösen. Da wir nicht von $\Pe = \NPe$ ausgehen,
+	ist das nicht möglich.
+	\points{2}
+	
+\end{tasks}

übung_11/ngexrcs.cls

@@ -0,0 +1,72 @@
+% vim: set filetype:tex
+
+% Identification %
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
+\ProvidesClass{ngexrcs}[2021/12/21 ADS Exercise class]
+
+% Handle options %
+\DeclareOption*{\PassOptionsToClass{\CurrentOption}{scrartcl}}
+\ProcessOptions\relax
+
+% More declarations %
+\LoadClass{scrartcl}
+
+\KOMAoptions{mpinclude=true}
+\recalctypearea
+
+\RequirePackage{ngutils}
+
+% define fonts
+\RequirePackage{fontspec}
+\RequirePackage[math-style=upright]{unicode-math}
+\setmainfont{TeX Gyre Pagella}
+\setsansfont{TeX Gyre Heros}
+\setmonofont{TeX Gyre Cursor}
+\setmathfont{Euler Math}
+\mathitalicsmode=1
+
+\setlength{\marginparwidth}{1.5\marginparwidth}
+\setlength{\fboxrule}{\heavyrulewidth}
+
+% Use sansfont for all title elements
+\addtokomafont{titlehead}{\sffamily}
+\addtokomafont{subject}{\sffamily}
+\addtokomafont{title}{\sffamily}
+\addtokomafont{subtitle}{\sffamily}
+\addtokomafont{author}{\sffamily}
+\addtokomafont{date}{\sffamily}
+\addtokomafont{publishers}{\sffamily}
+
+% Use serif font for headings
+\addtokomafont{disposition}{\rmfamily}
+
+% Let sections be formated as in: Aufgabe 1 -- Section title 
+\renewcommand*{\sectionformat}{Aufgabe \thesection\autodot\enskip--\enskip}
+
+% Let points of an exercise be printed as in: [__ / 2]
+\newkomafont{points}{\sffamily}
+\newcommand\points[2][1em]{\marginline{\framebox{{\usekomafont{points}\hspace{#1} \textbf{/} #2}}}}
+
+\newcounter{task}
+\renewcommand{\thetask}{\@alph\c@task)}
+\newenvironment{tasks}
+{
+	\begin{list}{\thetask}
+		{
+			\usecounter{task}
+			\setlength{\leftmargin}{1.6em}
+		}
+}{%
+	\end{list}
+}
+
+\DeclareNewTOC
+[
+	type=algorithm,
+	types=algorithms,
+	float,
+	floattype=4,
+	name=Algorithmus,
+	listname={Algorithmenverzeichnis}
+]
+{loa}

übung_11/ngutils.sty

@@ -0,0 +1,109 @@
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
+\ProvidesPackage{ngutils}[2026/06/05 Never's LaTeX utils]
+
+\RequirePackage[ngerman]{babel}
+\RequirePackage{graphicx}
+\RequirePackage{tabularx}
+\RequirePackage{booktabs}
+\RequirePackage{listings}
+
+\lstnewenvironment{pseudocode}[1][] %defines the algorithm listing environment
+{
+    \renewcommand{\lstlistingname}{Algorithmus}
+    \lstset{ %this is the stype
+        mathescape=true,
+        columns=fullflexible,
+        basicstyle=\normalfont,
+        identifierstyle=\scshape,
+        keywordstyle=\bfseries,
+        keywords={, and, or, not, new, if, then, else, while, for, in, to, up, down, foreach, do, return},
+        commentstyle=\itshape,
+        comment=[l]//,
+        delim=[is][\normalfont]{|}{|},
+        tabsize=3,
+        frame=tb,
+        framerule=1pt,
+        #1 % this is to add specific settings to an usage of this environment (for instnce, the caption and referable label)
+    }
+}
+{}
+
+\newcommand{\argmax}{\mathop{\mathrm{arg\,max}}}
+\newcommand{\argmin}{\mathop{\mathrm{arg\,min}}}
+\newcommand{\seilpmi}{\Longleftarrow}
+
+\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
+\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
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+
+\newcommand{\pot}{\mathcal{P}}
+
+\newcommand{\REC}{\mathrm{REC}}
+\newcommand{\RE}{\mathrm{RE}}
+\newcommand{\EA}{\mathrm{EA}}
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+
+\newcommand{\Pe}{\mathrm{P}}
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+
+\newcommand{\Oh}{\mathcal{O}}
+\newcommand{\oh}{\mathcal{o}}
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+\newcommand{\indeg}{\mathrm{indeg}}
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+\newcommand{\Eh}{\mathrm{E}}
+\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}
+
+\newcommand{\parens}[1]{\left(#1\right)}
+\newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]}
+\newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}}
+\newcommand{\angled}[1]{\left\langle#1\right\rangle}
+
+\newcommand{\suchthat}{\;\middle\vert\;}
+\newcommand{\set}[1]{\braces{#1}}
+\newcommand{\tup}[1]{\parens{#1}}
+\newcommand{\interval}[2][b]{
+	\if\detokenize{a}\detokenize{#1}%
+		\left[#2\right[
+	\fi
+	\if\detokenize{b}\detokenize{#1}%
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+		\left]#2\right]
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+}
+\newcommand{\arr}[1]{\angled{#1}}
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+\newcommand{\algt}[1]{{\normalfont\scshape#1}}
+
+\makeatletter
+\newcommand*{\alg@unstarred}[2]{{\normalfont\scshape#1}{\normalfont(#2)}}
+\newcommand*{\alg@starred}[1]{{\normalfont\scshape#1}}
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+\makeatother
+
+\newcommand{\com}[1]{{\normalfont\itshape/\!\!/ #1}}
+
+\newenvironment{algorithmic}[1][1em]{
+	\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth}
+		\bfseries
+		\begin{tabbing}
+			\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\kill
+			}{%
+		\end{tabbing}
+	\end{minipage}
+}
+