aufgabe 1 und 2

übung_9/aufgabe_1.tex

@@ -1,23 +1,50 @@
-\section{Kleinste Schnitte}
+\section{Dreifärbarkeit}
 \begin{tasks}
 	\item
 		Siehe \autoref{fig:1a}.
-		\points{2}
+		\points{1}
 
 		\begin{figure}
 			\centering
 			\includegraphics[page=1, width=0.5\textwidth]{figures.pdf}
-			\caption{Gegenbeispiel; Minimaler Schnitt $\tup{S, T}$ und nicht minimaler Schnitt $\tup{\set{v}, V \setminus \set{v}}$ in rot.}
+			\caption{Dreifärbung des Sterngraphs.}
 			\label{fig:1a}
-			
 		\end{figure}
 
 	\item
-		Die Wahrscheinlichkeit, dass \alg*{Contract} in keiner Iteration
-		eine Kante aus $C = \set{uv \in E \mid u \in S, v \in T}$ mit minimalem Schnitt $\tup{S, T}$ kontrahiert, also immer die falschen Knoten auswählt,
-		ist laut Vorlesung $\frac{2}{n(n-1)}$. Das heißt die Zahl der 
-		richtigen Knoten wächst quadratisch, da die Wahrscheinlichkeit quadratisch
-		abnimmt.
-		\points{3}
+		Da die Knoten, die zwei Türme miteinander verbinden, die selbe Farbe haben,
+		kann man zwischen zwei Türme einen weiteren Turm einfügen, der die
+		Färbbarkeitsregeln nicht verletzt.
+
+		Die Knoten mit Grad 2 im Sterngraphen sind die Spitzen der Türme.
+		Da die Turmverbindungsknoten alle die selbe Farbe haben müssen und die
+		zu ihnen ajazenten Knoten jeweils unterschiedlich gefärbt sein müssen,
+		da sie selbst adjazent zueinander sind, müssen die Spitzen die letzte
+		freie Farbe bekommen.
+		\points{2}
 	
+	\item
+		Um das Problem 3COL auf das Problem 3COL4 zu reduzieren, müssen wir
+		dafür sorgen, dass Knoten mit Grad größer $4$ so aufgelöst werden, dass
+		sie maximal Grad $4$ haben.
+		
+		Dazu machen wir uns zu nutze, dass der Sterngraph beliebig erweiterbar
+		ist und somit beliebig viele Knoten mit Grad $2$ hat, die alle die
+		selbe Farbe haben müssen.
+
+		Einen Knoten $v$ mit Grad $m > 4$ ersetzen wir durch einen Stern mit $m$
+		Zacken. Die zu $v$ adjazenten Kanten verbinden wir mit den Spitzen des
+		Sterns.
+
+		Jetzt haben wir einen Graphen mit Maximalgrad $4$ auf dem wir \alg*{Test3COL4}
+		anwenden können.
+
+		Beim Rückübersetzen können wir die Sterne wieder durch einen einzigen Knoten
+		ersetzen, der die Farbe der Spitzen hat. Da diese die selbe Farbe haben,
+		verletzt das nicht die Färbbarkeitsregel.
+
+		Da 3COL NP-vollständig ist, muss also 3COL4 und insbesondere auch \alg*{Test3COL4}
+		auch NP-vollständig sein.
+		\points{4}
+
 \end{tasks}