diff --git a/übung_11/3b.png b/übung_11/3b.png new file mode 100644 index 0000000..8847e2e Binary files /dev/null and b/übung_11/3b.png differ diff --git a/übung_11/agt_übung_11.pdf b/übung_11/agt_übung_11.pdf index b0e5cc1..d9856af 100644 Binary files a/übung_11/agt_übung_11.pdf and b/übung_11/agt_übung_11.pdf differ diff --git a/übung_11/aufgabe_1.tex b/übung_11/aufgabe_1.tex index dc1693c..76d1c02 100644 --- a/übung_11/aufgabe_1.tex +++ b/übung_11/aufgabe_1.tex @@ -4,9 +4,10 @@ \item Siehe \autoref{fig:1b}. + \points{1} \begin{figure} \centering - \includegraphics[page=1, width=0.33\textwidth]{figures.pdf} + \includegraphics[page=1, width=0.5\textwidth]{figures.pdf} \caption{Gegenbeispiel; $K_{3,3}$ hat $9 < 12 = 3 \cdot 6 - 6 $ Kanten und ist nicht planar.} \label{fig:1b} \end{figure} diff --git a/übung_11/aufgabe_3.tex b/übung_11/aufgabe_3.tex index 6eef1dc..c88833d 100644 --- a/übung_11/aufgabe_3.tex +++ b/übung_11/aufgabe_3.tex @@ -1,2 +1,32 @@ +\newpage \section{Planare Graphen} +\begin{tasks} + \item + O.B.d.A. gilt: + Angenommen $G$ ist planar. Sei $n = \abs{V}, m = \abs{E}$ und Anzahl der Facetten $f$. Dann gilt + \begin{align} + m &\leq 3n - 6 \\ + f &\leq 2n - 4 + \end{align} + + Angenommen $G$ hat $11$ Knoten. Dann ist $m \leq 27 = 3 \cdotp 11 - 6$ und $f \leq 18 = 2 \cdotp 11 - 4$. + + Ein Graph dieser Größe hat maximal $\binom{\abs{V}}{2} = \frac{11 \cdotp 10}{2 \cdotp 1} = 55$ Kanten. + + Angenommen $G$ hat $27$ Kanten. $G'$ hat also $55 - 27 = 28$ Kanten. Das ist ein Widerspruch zum ersten Kriterium. Somit kann $G'$ nicht planar sein. + \points{3} + + \item + Siehe \autoref{fig:3b} und \url{https://nevereverever.de/planark7.html}. + \points{3} + \begin{figure} + \centering + \includegraphics[page=6]{figures.pdf} + \caption{Planarer $K_7$ auf einem Torus. } + \label{fig:3b} + \end{figure} + + + +\end{tasks} diff --git a/übung_11/figures.pdf b/übung_11/figures.pdf index 7829aa0..9ad44e7 100644 Binary files a/übung_11/figures.pdf and b/übung_11/figures.pdf differ diff --git a/übung_11/k7ipe b/übung_11/k7ipe new file mode 100644 index 0000000..cc69de5 --- /dev/null +++ b/übung_11/k7ipe @@ -0,0 +1,42 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/übung_11/k7ipe.svg b/übung_11/k7ipe.svg new file mode 100644 index 0000000..ecf10b3 --- /dev/null +++ b/übung_11/k7ipe.svg @@ -0,0 +1,46 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/übung_11/k7ipe.svp b/übung_11/k7ipe.svp new file mode 100644 index 0000000..6198f19 --- /dev/null +++ b/übung_11/k7ipe.svp @@ -0,0 +1,40 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/übung_11/k7texture.png b/übung_11/k7texture.png new file mode 100644 index 0000000..b388af3 Binary files /dev/null and b/übung_11/k7texture.png differ diff --git a/übung_11/k7texture.xcf b/übung_11/k7texture.xcf new file mode 100644 index 0000000..018afc0 Binary files /dev/null and b/übung_11/k7texture.xcf differ diff --git a/übung_11/planark7.blend b/übung_11/planark7.blend new file mode 100644 index 0000000..7685298 Binary files /dev/null and b/übung_11/planark7.blend differ diff --git a/übung_11/planark7.blend1 b/übung_11/planark7.blend1 new file mode 100644 index 0000000..e370ffe Binary files /dev/null and b/übung_11/planark7.blend1 differ diff --git a/übung_11/planark7.glb b/übung_11/planark7.glb new file mode 100644 index 0000000..cb6cbd3 Binary files /dev/null and b/übung_11/planark7.glb differ