Aufgabe 1a

übung_2/aufgabe_1.tex

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 \section{Kleinste Knotenüberdeckung}
 
-HALLIHALLOHALLÖCHEN
+\begin{enumerate}
+	\item \textbf{Zielfunktion:} 
+	$$
+		\textnormal{min}\sum_{v\in V}x_v
+	$$
+\item \textbf{Entscheidungsvariablen:}
+	$$
+		x_v\in\{0,1\}\quad \forall v\in V
+	$$
+	Für jeden Knoten wird eine binäre Variable eingeführt welche 1 ist, falls der Knoten $x_v$ Teil der Überdeckungsmenge $C$ ist und andernfalls den Wert 0 annimmt. 
+\item \textbf{Nebenbedingung:}
+	$$
+	x_u+x_v \geq 1 \quad \forall \{u,v\}\in E
+	$$
+	Für jede Kante $\{u,v\}\in E$ muss mindestens einer der beiden Eckpunkte in $C$ enthalten sein.
+\item \textbf{Korrektheit:} Die Nebenbedingung definiert klar, dass für jede Kante mindestens einer der Knoten den Wert 1 haben und somit in der Ergebnismenge $C$ enthalten sein muss. Dies entspricht genau der Problemstellung. \\
+Da die Summe der Variablen minimiert wird, folgt daraus zwangsläufig die kleinste Knotenüberdeckung. 
+\end{enumerate}