aufgabe 1

übung_5/aufgabe_1.tex

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+\newcommand{\OPT}{\mathrm{OPT}}
+
 \section{Paarungen (Matchings) in Bäumen}
 \begin{tasks}
 \item
@@ -13,42 +15,68 @@
 	gematcht werden kann.
 
 	Also ist ein perfektes Matching im Baum eindeutig, da jedes Blatt mit seinem
-	Elternknoten gematcht werden muss. Die Kante ist sicher im Matching enthalten
-	und kann aus dem Graphen entfernt werden. So entsteht ein neues Blatt, für das
+	Elternknoten gematcht werden muss. Diese Kante $uv$ ist sicher im Matching enthalten und alle zu $u$ oder $v$ inzidenten Kanten können aus dem Baum gelöscht werden. So entsteht ein neues Blatt, für das
 	die selbe Regel gilt.
 	\points{3}
 \item
 	Der \autoref{alg:treematching} berechnet ein größtes Matching.
 
-	Der Algorithmus ist korrekt, da der Baum $T$ entweder eine gerade Anzahl an
-	Knoten hat, und somit ein perfektes Matching berechnet (Siehe \autoref{1a}) oder genau einen Knoten
-	zu wenig hat und somit das größte Matching um eins kleiner ist, als das perfekte
-	Matching des nächst größeren Baums.
+	Der Algorithmus ist korrekt, da der Baum $T$ entweder ein perfektes Matching
+	enthält und somit ein perfektes Matching berechnet (Siehe \autoref{1a}),
+	oder I dont fucking know.
 
-	Die Laufzeit liegt in $\Oh(E)$, da jede Kante maximal einmal zum Matching hinzugefügt
-	und dann aus dem Baum entfernt wird.
+	Die Laufzeit für \algt{Initialize} liegt in $\Oh(V)$, da sich der Baum in linearer Zeit augmentieren lässt und es $\abs{V} - 1$ viele Kanten gibt.
+
+	Die Laufzeit für \algt{MatchaTeeRec} liegt in $\Oh(V)$. Der Algorithmus wird genau
+	einmal für jeden Knoten aufgerufen. Wenn eine Kante zum
+	Match\-ing hinzugefügt wird, werden die Knoten und Kanten aus dem Baum gelöscht
+	die nicht mehr zum Matching hinzugefügt werden können und somit
+	nicht mehr bearbeitet werden.
+
+	Also liegt auch \algt{MatchaTee} in $\Oh(V)$.
 	\begin{algorithm}
 		\centering
 		\caption{Größtes Matching in Bäumen}
 		\label{alg:treematching}
 		\begin{algorithmic}
 			\alg{MatchaTee}{$T = \tup{V, E}$} \+ \\
-				\com{Wurzeln} \\
-				$r \gets V[1]$ \\ 
-				\com{Wenn Knoten Blatt ist, dann die Kante zum Elternknoten zurückgeben.} \\
-				if $deg(r) = 1$ then \+ \\
-					\com{Die Kante aus dem Baum entfernen.} \\
-					$E \gets E \setminus \set{\set{r, Adj[r]}}$ \\
-					$V \gets V \setminus \set{r}$ \\
-					return $\set{\set{r, Adj[r]}}$ \- \\
+				\com{Den ungerichten Baum zu einem gerichteten Baum mit $parent$ und} \\
+				\com{$children$ pro Knoten und einer Wurzel $root$ augmentieren.} \\
+				\alg{Initialize}{$T$} \\
+				return \alg{MatchaTeeRec}{$T$, $T.root$} \- \\
+				\\
+			\alg{MatchaTeeRec}{$T$, $r$} \+ \\
 				\com{Rekursiv für die Kinder aufrufen} \\
 				$m \gets \emptyset$ \\
-				foreach $v \in Adj[r]$ do \+ \\
-				$m \gets m \cup \text{\alg{MatchaTee}{T}}$ \- \\
+				foreach $v \in r.children$ do \+ \\
+				$m \gets m \cup \text{\alg{MatchaTeeRec}{T, v}}$ \- \\
+				\com{Wenn Knoten Blatt ist, dann die Kante zum Elternknoten hinzufügen.} \\
+				if $r \neq nil$ and $deg(r) = 1$ then \+ \\
+					\com{Die Knoten und inzidente Kanten aus dem Baum entfernen.} \\
+					$T \gets T \setminus \set{r.parent, r.parent.children}$ \\
+					$m \gets m \cup \set{\set{r, r.parent}}$ \- \\
 				return $m$
 		\end{algorithmic}
 	\end{algorithm}
 	\points{5}
 \item
+	Wenn eine Kante $rv$ zu einem Matching hinzugefügt wird, kann keine zu $v$
+	inzidente Kante hinzugefügt werden. Das müssen wir auch bei unserem dynamischen
+	Programm beachten.
+	\[
+		\OPT(r) = \max_{v \in r.children}
+		\begin{cases}
+		rv + \sum_{i \in v.children} \OPT(i) + \sum_{j \in r.children \setminus v} \OPT(j) \\
+		\sum_{k \in r.children} \OPT(k)
+		\end{cases}
+	\]
+	
+	Der Algorithmus hält sich an die Eigenschaften eines Matchings, also ist
+	er korrekt.
+
+	Der Algorithmus probiert alle Kindknoten von $r$ aus. Geht man mit $r$ im Baum von 
+	unten nach oben sind das also höchstens so viele Iterationen wie, Knoten im Baum
+	existieren (ohne die Blätter). Also läuft das Dynamische Programm in $\Oh(V)$.
+
 	\points{5}
 \end{tasks}