Aufgabe 3 b,d

übung_6/aufgabe_3.tex

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 	\points{3}
 	\item
 	
+	\points{2}
+	\item
 	
+	Sei M das vom Algorithmus berechnete maximale Matching und M* das optimale maximale Matching. \\
+	Für jede Kante $e*=\{u,v\}\in$ M* gilt: mindestens einer der beiden Knoten $u$ oder $v$ muss über eine Kante aus M abgedeckt werden, sonst wäre der M nicht nicht-erweiterbar. \\
+	Eine Kante aus M hat genau zwei Endknoten und kann daher höchstens zwei verschiedene Kanten aus M* ''blockieren''. Da alle Kanten in M* disjunt sind kann man daraus folgern:
+	$$ |M*|\leq 2\cdot |M|\quad \Rightarrow\quad |M|\geq \frac{1}{2}|M*|$$
+	Somit ist der Algorithmus aus der Teilaufgabe a) eine 1/2 Approximation für ein optimales Matching.
 	
 	\points{3}
 	\item
 	
-	\points{2}
-	\item
+	Zielfunktion:
+	$$ \arg\min \sum_{e\in E} x_e \geq 1$$
+	Entscheidungsvariablen: für jede Kante $e\in E$:
+	$$x_e\in\{0,1\}\quad \forall e\in E$$
+	Die Variable nimmt den Wert 1 an, wenn die Kante im Matching M ist und 0 falls sie das nicht ist.\\
+	Nebenbedingungen:
+	\begin{enumerate}
+		\item Matching: Jeder Knoten darf von maximal einer Matching-Kante berührt werden
+		$$\forall v\in V \colon \sum_{e\in \delta(v)}x_e\leq1$$
+		$\delta(v)$ ist die Menge aller Kanten welche an $v$ anliegen
+		\item Nicht-Erweiterbarkeit: Für jede Kante $\{u,v\}$ muss die Summe der Matching-Kanten an $u$ und $v$ mindestens 1 sein
+		$$ \forall \{u,v\}\in E \colon \sum_{e\in\delta(u)}x_e+\sum_{e'\in\delta(v)}x_e'\geq 1$$
+		$\delta(v)$ ist die Menge aller Kanten welche an $v$ anliegen. Äquivalent für $\delta(u)$.
+	\end{enumerate}
+	
 	
 	\points{3}
 	\item