diff --git a/übung_4/agt_übung_3_korrpdf b/übung_4/agt_übung_3_korrpdf deleted file mode 100644 index 627eef2..0000000 Binary files a/übung_4/agt_übung_3_korrpdf and /dev/null differ diff --git a/übung_4/agt_übung_4.pdf b/übung_4/agt_übung_4.pdf index 15a1c80..e5e0733 100644 Binary files a/übung_4/agt_übung_4.pdf and b/übung_4/agt_übung_4.pdf differ diff --git a/übung_4/agt_übung_4.tex b/übung_4/agt_übung_4.tex index c28f3f0..4d8baef 100644 --- a/übung_4/agt_übung_4.tex +++ b/übung_4/agt_übung_4.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\documentclass{ngexrcs} +\documentclass[parskip=half]{ngexrcs} \usepackage{hyperref} \setkeys{Gin}{pagebox=artbox, width=0.2\textwidth} diff --git a/übung_4/aufgabe_3.tex b/übung_4/aufgabe_3.tex index 78a1258..46c3299 100644 --- a/übung_4/aufgabe_3.tex +++ b/übung_4/aufgabe_3.tex @@ -1 +1,15 @@ \section{Minimale Schnitte} +Wir wenden den Algorithmus \algt{EdmondsKarp} für Maximale Flüsse aus der +Vorlesung an und führen nach der While-Schleife eine Breitensuche auf dem +Residualgraphen $G_f$ mit Startknoten $s$ aus. Die Knoten, die die BFS findet +sind die Knoten, die im gesuchten minimalen $s$-$t$-Schnitt vorhanden sind. + +Das ergibt sich aus dem Min-Cut-Max-Flow-Theorem: +\[ + \max_{f \text{ zulässiger $s$-$t$-Fluss}} \abs{f} = \min_{\tup{S, T} \text{ $s$-$t$-Schnitt}} c(S) +\] +Also finden wir einen minimalen Schnitt genau dann, wenn wir einen maximalen Fluss finden. + +Die Laufzeit ergibt sich aus der Laufzeit für \algt{EdmondsKarp} und der Breitensuche, +also $\Oh(VE^2) + \Oh(V + E) = \Oh(VE^2)$. +\points{5} diff --git a/übung_4/figures.pdf.autosave.ipe b/übung_4/figures.pdf.autosave.ipe deleted file mode 100644 index c884638..0000000 --- a/übung_4/figures.pdf.autosave.ipe +++ /dev/null @@ -1,995 +0,0 @@ - - - - - - - -0 0 m --1 0.333 l --1 -0.333 l -h - - - - -0 0 m --1 0.333 l --1 -0.333 l -h - - - - -0 0 m --1 0.333 l --0.8 0 l --1 -0.333 l -h - - - - -0 0 m --1 0.333 l --0.8 0 l --1 -0.333 l -h - - - - -0.6 0 0 0.6 0 0 e -0.4 0 0 0.4 0 0 e - - - - -0.6 0 0 0.6 0 0 e - - - - - -0.5 0 0 0.5 0 0 e - - -0.6 0 0 0.6 0 0 e -0.4 0 0 0.4 0 0 e - - - - - --0.6 -0.6 m -0.6 -0.6 l -0.6 0.6 l --0.6 0.6 l -h --0.4 -0.4 m -0.4 -0.4 l -0.4 0.4 l --0.4 0.4 l -h - - - - --0.6 -0.6 m -0.6 -0.6 l -0.6 0.6 l --0.6 0.6 l -h - - - - - --0.5 -0.5 m -0.5 -0.5 l -0.5 0.5 l --0.5 0.5 l -h - - --0.6 -0.6 m -0.6 -0.6 l -0.6 0.6 l --0.6 0.6 l -h --0.4 -0.4 m -0.4 -0.4 l -0.4 0.4 l --0.4 0.4 l -h - - - - - - --0.43 -0.57 m -0.57 0.43 l -0.43 0.57 l --0.57 -0.43 l -h - - --0.43 0.57 m -0.57 -0.43 l -0.43 -0.57 l --0.57 0.43 l -h - - - - - -0 0 m --1 0.333 l --1 -0.333 l -h - - - - -0 0 m --1 0.333 l --0.8 0 l --1 -0.333 l -h - - - - -0 0 m --1 0.333 l --0.8 0 l --1 -0.333 l -h - - - - --1 0.333 m -0 0 l --1 -0.333 l - - - - -0 0 m --1 0.333 l --1 -0.333 l -h --1 0 m --2 0.333 l --2 -0.333 l -h - - - - -0 0 m --1 0.333 l --1 -0.333 l -h --1 0 m --2 0.333 l --2 -0.333 l -h - - - - -0.5 0 m --0.5 0.333 l --0.5 -0.333 l -h - - - - -0.5 0 m --0.5 0.333 l --0.5 -0.333 l -h - - - - -0.5 0 m --0.5 0.333 l --0.3 0 l --0.5 -0.333 l -h - - - - -0.5 0 m --0.5 0.333 l --0.3 0 l --0.5 -0.333 l -h - - - - -1 0 m -0 0.333 l -0 -0.333 l -h -0 0 m --1 0.333 l --1 -0.333 l -h - - - - -1 0 m -0 0.333 l -0 -0.333 l -h -0 0 m --1 0.333 l --1 -0.333 l -h - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --0.7 0 m --1.7 0.333 l --1.7 -0.333 l -h - - - - --0.7 0 m --1.7 0.333 l --1.7 -0.333 l -h - - - - --0.7 0 m --1.7 0.333 l --0.8 0 l --1.7 -0.333 l -h - - - - --0.7 0 m --1.7 0.333 l --0.8 0 l --1.7 -0.333 l -h - - - - --1.7 0.333 m --0.7 0 l --1.7 -0.333 l - - - - --0.7 0 m --1.7 0.333 l --1.7 -0.333 l -h --1.7 0 m --2.7 0.333 l --2.7 -0.333 l -h - - - - --0.7 0 m --1.7 0.333 l --1.7 -0.333 l -h --1.7 0 m --2.7 0.333 l --2.7 -0.333 l -h - - - - -100 204 m -4 0 0 4 100 200 96 200 a -96 100 l -4 0 0 4 100 100 100 96 a -300 96 l -4 0 0 4 300 100 304 100 a -304 200 l -4 0 0 4 300 200 300 204 a -h - - - - -100 204 m -4 0 0 4 100 200 96 200 a -96 100 l -4 0 0 4 100 100 100 96 a -300 96 l -4 0 0 4 300 100 304 100 a -304 200 l -4 0 0 4 300 200 300 204 a -h - - - - -100 204 m -4 0 0 4 100 200 96 200 a -96 100 l -4 0 0 4 100 100 100 96 a -300 96 l -4 0 0 4 300 100 304 100 a -304 200 l -4 0 0 4 300 200 300 204 a -h - - - - -96 96 m -304 96 l -304 204 l -96 204 l -h - - - - -96 96 m -304 96 l -304 204 l -96 204 l -h - - - - -92 92 m -308 92 l -308 208 l -92 208 l -h - - - - -100 96 m -110 96 s -110 92 -106 88 s -116 92 -118 96 s -300 96 l -4 0 0 4 300 100 304 100 a -304 200 l -4 0 0 4 300 200 300 204 a -100 204 l -4 0 0 4 100 200 96 200 a -96 100 l -4 0 0 4 100 100 100 96 a -h - - - - -100 96 m -186 96 s -186 92 -182 88 s -192 92 -194 96 s -300 96 l -4 0 0 4 300 100 304 100 a -304 200 l -4 0 0 4 300 200 300 204 a -100 204 l -4 0 0 4 100 200 96 200 a -96 100 l -4 0 0 4 100 100 100 96 a -h - - - - -100 96 m -110 96 s -110 92 -106 88 s -116 92 -118 96 s -300 96 l -4 0 0 4 300 100 304 100 a -304 200 l -4 0 0 4 300 200 300 204 a -100 204 l -4 0 0 4 100 200 96 200 a -96 100 l -4 0 0 4 100 100 100 96 a -h - - - - -100 96 m -110 96 s -110 92 -106 88 s -116 92 -118 96 s -300 96 l -4 0 0 4 300 100 304 100 a -304 200 l -4 0 0 4 300 200 300 204 a -100 204 l -4 0 0 4 100 200 96 200 a -96 100 l -4 0 0 4 100 100 100 96 a -h - - - - -100 96 m -186 96 s -186 92 -182 88 s -192 92 -194 96 s -300 96 l -4 0 0 4 300 100 304 100 a -304 200 l -4 0 0 4 300 200 300 204 a -100 204 l -4 0 0 4 100 200 96 200 a -96 100 l -4 0 0 4 100 100 100 96 a -h - - - - -100 96 m -110 96 s -110 92 -106 88 s -116 92 -118 96 s -300 96 l -4 0 0 4 300 100 304 100 a -304 200 l -4 0 0 4 300 200 300 204 a -100 204 l -4 0 0 4 100 200 96 200 a -96 100 l -4 0 0 4 100 100 100 96 a -h - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -\usepackage[ngerman]{babel} -\usepackage[sansdefault]{fontsetup} -\usepackage{ngutils} - -\renewcommand{\theoremfont}{\normalfont\bfseries\color{dark blue}} -\renewcommand{\definitionfont}{\normalfont\bfseries\color{dark gray}} - -\newcommand{\labelfont}{\normalfont\bfseries\color{dark blue}} - -%\setlength{\leftmargini}{1.33em} -%\setlength{\leftmarginii}{1.33em} -%\setlength{\leftmarginiii}{1.33em} -%\setlength{\leftmarginvi}{1.33em} - -\renewcommand{\labelenumi}{\labelfont\arabic{enumi}.} -\renewcommand{\labelenumii}{\labelfont\alph{enumii})} -\renewcommand{\labelenumiii}{\labelfont\roman{enumiii}.} -\renewcommand{\labelenumiv}{\labelfont\Alph{enumiv}.} - -\renewcommand{\labelitemi}{\labelfont $\blockfull$} -\renewcommand{\labelitemii}{\labelfont $\blackpointerright$} -\renewcommand{\labelitemiii}{\labelfont $\bullet$} -\renewcommand{\labelitemiv}{\labelfont $\bullet$} - -\setlength{\fboxsep}{1pt} - -\newcommand{\bk}{\color{black}} -\newcommand{\wt}{\color{white}} -\newcommand{\bu}{\color{dark blue}} -\newcommand{\bn}{\color{dark brown}} -\newcommand{\cn}{\color{dark cyan}} -\newcommand{\gy}{\color{dark gray}} -\newcommand{\gn}{\color{dark green}} -\newcommand{\og}{\color{dark orange}} -\newcommand{\pk}{\color{dark pink}} -\newcommand{\pl}{\color{dark purple}} -\newcommand{\rd}{\color{dark red}} -\newcommand{\yo}{\color{dark yellow}} -\newcommand{\tl}{\color{title}} - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -384 384 m -480 416 l - - -384 384 m -288 416 l - - -384 384 m -480 160 l - - -384 384 m -192 256 l - - -384 384 m -384 128 l - - -384 384 m -192 128 l - - -384 384 m -576 128 l - - -384 384 m -192 384 l - - -384 384 m -480 352 l - - -384 384 m -576 384 l - - -480 160 m -192 256 l - - -480 160 m -384 128 l - - -480 160 m -192 128 l - - -480 160 m -576 128 l - - -480 160 m -192 384 l - - -480 160 m -480 352 l - - -480 160 m -576 384 l - - -384 128 m -192 128 l - - -384 128 m -576 128 l - - -384 128 m -192 384 l - - -384 128 m -480 352 l - - -384 128 m -576 384 l - - -576 128 m -192 384 l - - -576 128 m -480 352 l - - -576 128 m -576 384 l - - -480 352 m -576 384 l - -1 -1 -2 -3 -4 -5 -5 -8 -7 -6 -10 - - - - - - - - - - - - - - - - -416 256 m -416 448 l - - -416 256 m -320 416 l - - -416 256 m -416 64 l - - -416 256 m -256 352 l - - -416 256 m -560 112 l - - -416 256 m -224 256 l - - -416 256 m -608 256 l - - -416 256 m -272 112 l - - -416 256 m -512 416 l - - -416 256 m -576 352 l - - -416 64 m -256 352 l - - -416 64 m -560 112 l - - -416 64 m -224 256 l - - -416 64 m -608 256 l - - -416 64 m -272 112 l - - -416 64 m -512 416 l - - -416 64 m -576 352 l - - -560 112 m -224 256 l - - -560 112 m -608 256 l - - -560 112 m -272 112 l - - -560 112 m -512 416 l - - -560 112 m -576 352 l - - -608 256 m -272 112 l - - -608 256 m -512 416 l - - -608 256 m -576 352 l - - -512 416 m -576 352 l - -1 -1 -2 -3 -4 -5 -5 -8 -7 -6 -10 - -416 256 m -416 64 l - - - - - - -448 320 m -576 256 l - - -448 256 m -576 256 l - - -448 192 m -576 256 l - - -192 256 m -320 320 l - - -192 256 m -320 256 l - - -192 256 m -320 192 l - - -320 256 m -448 320 l - - -320 320 m -448 320 l - - -320 320 m -448 320 l - - -320 256 m -448 256 l - - -320 320 m -448 192 l - - -320 192 m -448 192 l - - -320 320 m -448 256 l - - - - - - - - - -v_1 -v_2 -v_n -e_1 -s -e_2 -e_m -t -B(v_1) -B(v_n) -B(v_2) -r(e_1) -r(e_m) -r(e_2) -\vdots -\vdots - -