blatt 12

übung_12/aufgabe_5.tex

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+\section{Leichteste Kreise}
+\begin{tasks}
+	\item
+		Wir wenden Dijkstra auf den Graphen $G$ mit Startknoten $s$ an (\autoref{fig:edsger}).
+		Das geht in $\Oh(n \log n)$ da Dijkstra in $\Oh(E + V \log V)$ läuft und die Kanten $m$ im planaren Graphen mit $m \leq 3n-6$ beschränkt sind.
+
+		Einen Kreis der $s$ enthält existiert, wenn es in einem Teilbaum von $s$ des
+		Kürzeste-Wege-Baums eine Rückwärtskante zu $s$ gibt.
+
+		Haben wir eine Rückwärtskante in einem Teilbaum gefunden, lesen wir den kürzesten
+		Weg von $s$ zu dem Knoten $a$ von dem die Rückwärtskante ausgeht, aus dem
+		Kürzeste-Wege-Baum ab. Das Gewicht des Kreises erhalten wir, durch $a_d + \abs{as}$, wobei $a_d$ die Länge des kürzesten $s-a$-Weges ist und $\abs{as}$ das Kantengewicht der Kante $as$.
+
+		Es reicht, die erste Rückwärtskante die wir finden zu nehmen.
+
+		Das müssen wir nun für alle Teilbäume machen.
+		Da der durchschnittliche Knotengrad im Graphen 
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+
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+\end{tasks}
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics{edsger.png}
+	\caption{Let's go Edsger! Shortest Path!}
+	\label{fig:edsger}
+\end{figure}