blatt 12

übung_12/aufgabe_4.tex

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+\section{Planarität}
+\begin{tasks}
+	\item
+		\begin{itemize}
+			\item[(B1)]
+				Wäre einer der Teilgraphen $C + P$ von $G$ nicht planar, dann könnte
+				auch der Graph $G$ nicht planar sein.
+			
+			\item[(B2)]
+				Wenn der Störgraph nicht bipartit ist, dann gäbe es keine Möglichkeit
+				die Teilstücke so innen und außen an den separierenden Kreis zu legen,
+				sodass sich keine Teilstücke überschneiden, da es keine
+				Aufteilung der Teilstücke in zwei disjunkte Mengen gibt, bei der
+				sich Teilstücke nicht schneiden.
+		\end{itemize}
+		\points{3}
+
+	\item
+		Ein zweifach knotenzusammenhängender Graph hat per Definition einen Kreis.
+
+		Aus dem Lemma 1 aus der Vorlesung folgt, dass wenn der Graph einen nicht-separierenden Kreis hat, 
+		dann muss ein Teilstück ein Pfad sein, denn wenn es kein Pfad wäre,
+		gäbe es einen separierenden Kreis. Somit besteht der Graph aus einem Kreis und/oder
+		einem Pfadteilstück.
+
+		Ein Kreis mit nur einem Teilstück lässt sich immer 
+		Überscheidungsfrei zeichnen.
+		\points{4}
+
+	\item
+		Sei $P$ ein Teilstück eines zweifach knotenzusammenhängenden Graphen $G$ 
+		bezüglich eines separierenden Kreises $C$.
+
+		Angenommen das Teilstück $p$ hat nur einen Anknüpfpunkt in $C$. Dann
+		könnten wir diesen Knoten auf $C$ entfernen und würden den Graphen in
+		zwei Zusammenhangskomponenten zerlegen. Also muss das Teilstück mindestens
+		zwei Anknüpfpunkte haben und somit ist $C + P$ zweifach knotenzusammenhängend.
+		\points{3}
+	
+\end{tasks}