blatt 12

übung_12/agt_übung_12.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\documentclass[parskip=half]{ngexrcs}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{subcaption}
+\setkeys{Gin}{pagebox=artbox, width=0.8\textwidth}
+
+\subject{Algorithmische Graphentheorie}
+\title{12. Übungsblatt}
+\author{Jasper Gude \and Pia Röttgers}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\points[2em]{30}
+
+\input{aufgabe_1.tex}
+\input{aufgabe_2.tex}
+\input{aufgabe_3.tex}
+\input{aufgabe_4.tex}
+\input{aufgabe_5.tex}
+
+\end{document}

übung_12/aufgabe_1.tex

@@ -0,0 +1,10 @@
+\section{Listenfärbung}
+Siehe \autoref{fig:1}.
+\points{3}
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[page=1]{figures.pdf}
+	\caption{Listenfärbung für den Graphen.}
+	\label{fig:1}
+\end{figure}

übung_12/aufgabe_2.tex

@@ -0,0 +1,11 @@
+\section{Graphenmodellierung}
+Wir modellieren das Funkmastproblem als Graphenproblem.
+Dabei sind die Funkmasten die Knoten und zischen zwei
+Masten existiert eine ungerichtete Kante, wenn sich die Sendegebiete überschneiden.
+
+Die Zuweisung der Frequenzbänder entspricht der Färbung, da überschneidende
+Sendegebiete unterschiedliche Frequenzbänder nutzen müssen und bei der Färbung
+adjazente Knoten unterschiedliche Farben haben müssen.
+
+Im Allgemeinen gibt es keine effizienten Algorithmen für die Färbung.
+\points{3}

übung_12/aufgabe_3.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\section{Separierende Kreise und Störgraphen}
+Separierender Kreis und die Teilstücke wie in \autoref{fig:3a}
+und der nicht-bipartite Störgraph in \autoref{fig:3b}.
+Der Petersengraph ist also nicht planar.
+\points{4}
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\begin{subfigure}{0.4\textwidth}
+		\centering	
+		\includegraphics[page=2]{figures.pdf}
+		\caption{Im Petersengraph.}
+	\end{subfigure}
+	\begin{subfigure}{0.4\textwidth}
+		\centering	
+		\includegraphics[page=3]{figures.pdf}
+		\caption{Etwas anders dargestellt.}
+	\end{subfigure}
+	\caption{Separierender Kreis in rot und dessen Teilstücke in blau, grün und pink.}
+	\label{fig:3a}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[page=4]{figures.pdf}
+	\caption{Der Störgraph.}
+	\label{fig:3b}
+\end{figure}

übung_12/aufgabe_4.tex

@@ -0,0 +1,40 @@
+\section{Planarität}
+\begin{tasks}
+	\item
+		\begin{itemize}
+			\item[(B1)]
+				Wäre einer der Teilgraphen $C + P$ von $G$ nicht planar, dann könnte
+				auch der Graph $G$ nicht planar sein.
+			
+			\item[(B2)]
+				Wenn der Störgraph nicht bipartit ist, dann gäbe es keine Möglichkeit
+				die Teilstücke so innen und außen an den separierenden Kreis zu legen,
+				sodass sich keine Teilstücke überschneiden, da es keine
+				Aufteilung der Teilstücke in zwei disjunkte Mengen gibt, bei der
+				sich Teilstücke nicht schneiden.
+		\end{itemize}
+		\points{3}
+
+	\item
+		Ein zweifach knotenzusammenhängender Graph hat per Definition einen Kreis.
+
+		Aus dem Lemma 1 aus der Vorlesung folgt, dass wenn der Graph einen nicht-separierenden Kreis hat, 
+		dann muss ein Teilstück ein Pfad sein, denn wenn es kein Pfad wäre,
+		gäbe es einen separierenden Kreis. Somit besteht der Graph aus einem Kreis und/oder
+		einem Pfadteilstück.
+
+		Ein Kreis mit nur einem Teilstück lässt sich immer 
+		Überscheidungsfrei zeichnen.
+		\points{4}
+
+	\item
+		Sei $P$ ein Teilstück eines zweifach knotenzusammenhängenden Graphen $G$ 
+		bezüglich eines separierenden Kreises $C$.
+
+		Angenommen das Teilstück $p$ hat nur einen Anknüpfpunkt in $C$. Dann
+		könnten wir diesen Knoten auf $C$ entfernen und würden den Graphen in
+		zwei Zusammenhangskomponenten zerlegen. Also muss das Teilstück mindestens
+		zwei Anknüpfpunkte haben und somit ist $C + P$ zweifach knotenzusammenhängend.
+		\points{3}
+	
+\end{tasks}

übung_12/aufgabe_5.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\section{Leichteste Kreise}
+\begin{tasks}
+	\item
+		Wir wenden Dijkstra auf den Graphen $G$ mit Startknoten $s$ an (\autoref{fig:edsger}).
+		Das geht in $\Oh(n \log n)$ da Dijkstra in $\Oh(E + V \log V)$ läuft und die Kanten $m$ im planaren Graphen mit $m \leq 3n-6$ beschränkt sind.
+
+		Einen Kreis der $s$ enthält existiert, wenn es in einem Teilbaum von $s$ des
+		Kürzeste-Wege-Baums eine Rückwärtskante zu $s$ gibt.
+
+		Haben wir eine Rückwärtskante in einem Teilbaum gefunden, lesen wir den kürzesten
+		Weg von $s$ zu dem Knoten $a$ von dem die Rückwärtskante ausgeht, aus dem
+		Kürzeste-Wege-Baum ab. Das Gewicht des Kreises erhalten wir, durch $a_d + \abs{as}$, wobei $a_d$ die Länge des kürzesten $s-a$-Weges ist und $\abs{as}$ das Kantengewicht der Kante $as$.
+
+		Es reicht, die erste Rückwärtskante die wir finden zu nehmen.
+
+		Das müssen wir nun für alle Teilbäume machen.
+		Da der durchschnittliche Knotengrad im Graphen 
+			
+
+
+\end{tasks}
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics{edsger.png}
+	\caption{Let's go Edsger! Shortest Path!}
+	\label{fig:edsger}
+\end{figure}

übung_12/ngexrcs.cls

@@ -0,0 +1,72 @@
+% vim: set filetype:tex
+
+% Identification %
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
+\ProvidesClass{ngexrcs}[2021/12/21 ADS Exercise class]
+
+% Handle options %
+\DeclareOption*{\PassOptionsToClass{\CurrentOption}{scrartcl}}
+\ProcessOptions\relax
+
+% More declarations %
+\LoadClass{scrartcl}
+
+\KOMAoptions{mpinclude=true}
+\recalctypearea
+
+\RequirePackage{ngutils}
+
+% define fonts
+\RequirePackage{fontspec}
+\RequirePackage[math-style=upright]{unicode-math}
+\setmainfont{TeX Gyre Pagella}
+\setsansfont{TeX Gyre Heros}
+\setmonofont{TeX Gyre Cursor}
+\setmathfont{Euler Math}
+\mathitalicsmode=1
+
+\setlength{\marginparwidth}{1.5\marginparwidth}
+\setlength{\fboxrule}{\heavyrulewidth}
+
+% Use sansfont for all title elements
+\addtokomafont{titlehead}{\sffamily}
+\addtokomafont{subject}{\sffamily}
+\addtokomafont{title}{\sffamily}
+\addtokomafont{subtitle}{\sffamily}
+\addtokomafont{author}{\sffamily}
+\addtokomafont{date}{\sffamily}
+\addtokomafont{publishers}{\sffamily}
+
+% Use serif font for headings
+\addtokomafont{disposition}{\rmfamily}
+
+% Let sections be formated as in: Aufgabe 1 -- Section title 
+\renewcommand*{\sectionformat}{Aufgabe \thesection\autodot\enskip--\enskip}
+
+% Let points of an exercise be printed as in: [__ / 2]
+\newkomafont{points}{\sffamily}
+\newcommand\points[2][1em]{\marginline{\framebox{{\usekomafont{points}\hspace{#1} \textbf{/} #2}}}}
+
+\newcounter{task}
+\renewcommand{\thetask}{\@alph\c@task)}
+\newenvironment{tasks}
+{
+	\begin{list}{\thetask}
+		{
+			\usecounter{task}
+			\setlength{\leftmargin}{1.6em}
+		}
+}{%
+	\end{list}
+}
+
+\DeclareNewTOC
+[
+	type=algorithm,
+	types=algorithms,
+	float,
+	floattype=4,
+	name=Algorithmus,
+	listname={Algorithmenverzeichnis}
+]
+{loa}

übung_12/ngutils.sty

@@ -0,0 +1,109 @@
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
+\ProvidesPackage{ngutils}[2026/06/05 Never's LaTeX utils]
+
+\RequirePackage[ngerman]{babel}
+\RequirePackage{graphicx}
+\RequirePackage{tabularx}
+\RequirePackage{booktabs}
+\RequirePackage{listings}
+
+\lstnewenvironment{pseudocode}[1][] %defines the algorithm listing environment
+{
+    \renewcommand{\lstlistingname}{Algorithmus}
+    \lstset{ %this is the stype
+        mathescape=true,
+        columns=fullflexible,
+        basicstyle=\normalfont,
+        identifierstyle=\scshape,
+        keywordstyle=\bfseries,
+        keywords={, and, or, not, new, if, then, else, while, for, in, to, up, down, foreach, do, return},
+        commentstyle=\itshape,
+        comment=[l]//,
+        delim=[is][\normalfont]{|}{|},
+        tabsize=3,
+        frame=tb,
+        framerule=1pt,
+        #1 % this is to add specific settings to an usage of this environment (for instnce, the caption and referable label)
+    }
+}
+{}
+
+\newcommand{\argmax}{\mathop{\mathrm{arg\,max}}}
+\newcommand{\argmin}{\mathop{\mathrm{arg\,min}}}
+\newcommand{\seilpmi}{\Longleftarrow}
+
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+
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+
+\newcommand{\suchthat}{\;\middle\vert\;}
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+