never/agt_exercise
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Never Gude 2026-04-20 19:11:44 +02:00
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8
übung_1/agt_übung_1.aux
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@ -16,8 +16,8 @@
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12
übung_1/agt_übung_1.fdb_latexmk
View file

@ -1,5 +1,5 @@
# Fdb version 4 # Fdb version 4
["lualatex"] 1776689922.84723 "/home/never/Documents/InNa/26_SoSe/AGT/agt_exercise/übung_1/agt_übung_1.tex" "agt_übung_1.pdf" "agt_übung_1" 1776689924.63041 0 ["lualatex"] 1776697900.74979 "/home/never/Documents/InNa/26_SoSe/AGT/agt_exercise/übung_1/agt_übung_1.tex" "agt_übung_1.pdf" "agt_übung_1" 1776697902.55915 0
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"/home/never/.texlive2025/texmf-var/luatex-cache/generic/fonts/otl/lmroman10-bold.luc" 1770519351.28214 128405 86240d2e88c12243734a13e4bf6704ec "" "/home/never/.texlive2025/texmf-var/luatex-cache/generic/fonts/otl/lmroman10-bold.luc" 1770519351.28214 128405 86240d2e88c12243734a13e4bf6704ec ""
"/home/never/.texlive2025/texmf-var/luatex-cache/generic/fonts/otl/lmroman10-regular.luc" 1770519350.86413 127322 64667bb671c8def3fa5d85c341ebd817 "" "/home/never/.texlive2025/texmf-var/luatex-cache/generic/fonts/otl/lmroman10-regular.luc" 1770519350.86413 127322 64667bb671c8def3fa5d85c341ebd817 ""
@ -17,7 +17,7 @@
"/home/never/.texlive2025/texmf-var/luatex-cache/generic/fonts/otl/texgyrepagella-regular.luc" 1770519351.40914 310182 64e3ff98a9959bea5d737ee8b9a06ff2 "" "/home/never/.texlive2025/texmf-var/luatex-cache/generic/fonts/otl/texgyrepagella-regular.luc" 1770519351.40914 310182 64e3ff98a9959bea5d737ee8b9a06ff2 ""
"/home/never/.texlive2025/texmf-var/luatex-cache/generic/names/luaotfload-lookup-cache.luc" 1776608606.25376 23014 4a1f49530b644afddd7c9abad44fb6f5 "" "/home/never/.texlive2025/texmf-var/luatex-cache/generic/names/luaotfload-lookup-cache.luc" 1776608606.25376 23014 4a1f49530b644afddd7c9abad44fb6f5 ""
"/home/never/.texlive2025/texmf-var/luatex-cache/generic/names/luaotfload-names.luc.gz" 1770519350.80013 381420 8c34679872cd58fe28bd24cc6f0940ba "" "/home/never/.texlive2025/texmf-var/luatex-cache/generic/names/luaotfload-names.luc.gz" 1770519350.80013 381420 8c34679872cd58fe28bd24cc6f0940ba ""
"/home/never/Documents/InNa/26_SoSe/AGT/agt_exercise/übung_1/agt_übung_1.tex" 1776689920.30511 5918 404e74808326e7cb118bd3c5e2c239db "" "/home/never/Documents/InNa/26_SoSe/AGT/agt_exercise/übung_1/agt_übung_1.tex" 1776697897.66689 304 d56b2c71c7672c3ab6ee2cdcfe258fc5 ""
"/home/never/texmf/tex/latex/ngexrcs/ngexrcs.cls" 1776614186.59271 2041 f7d79ac75cecdfbe676fa2a93e60930b "" "/home/never/texmf/tex/latex/ngexrcs/ngexrcs.cls" 1776614186.59271 2041 f7d79ac75cecdfbe676fa2a93e60930b ""
"/home/never/texmf/tex/latex/ngutils/ngutils.sty" 1776618253.70411 4493 7f39562722b52c0e9a76c17c4438174e "" "/home/never/texmf/tex/latex/ngutils/ngutils.sty" 1776618253.70411 4493 7f39562722b52c0e9a76c17c4438174e ""
"/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/opentype/public/euler-math/Euler-Math.otf" 1761682777 433104 26cb5ed06a913ce89a33ff41234f5c7a "" "/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/opentype/public/euler-math/Euler-Math.otf" 1761682777 433104 26cb5ed06a913ce89a33ff41234f5c7a ""
@ -171,8 +171,12 @@
"/usr/local/texlive/2025/texmf-var/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map" 1770517628 5541377 824b1e5beafd2ebda40585373b35bb6b "" "/usr/local/texlive/2025/texmf-var/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map" 1770517628 5541377 824b1e5beafd2ebda40585373b35bb6b ""
"/usr/local/texlive/2025/texmf-var/tex/generic/config/language.dat" 1770517624.99251 6800 99336720d16c8191172704bea65615e7 "" "/usr/local/texlive/2025/texmf-var/tex/generic/config/language.dat" 1770517624.99251 6800 99336720d16c8191172704bea65615e7 ""
"/usr/local/texlive/2025/texmf-var/web2c/luahbtex/lualatex.fmt" 1770517696 5655839 756767735d369e65a483b47207bff649 "" "/usr/local/texlive/2025/texmf-var/web2c/luahbtex/lualatex.fmt" 1770517696 5655839 756767735d369e65a483b47207bff649 ""
"agt_übung_1.aux" 1776689924.38713 2915 9d880eef7bcc0cb3af62e0b7eba25b39 "lualatex" "agt_übung_1.aux" 1776697902.28891 2429 81986a9a774647930a5ac9e94cda7c51 "lualatex"
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"msb.eps" 1776424417.18606 5913 81dafb89427e3a448260b7481993e119 "" "msb.eps" 1776424417.18606 5913 81dafb89427e3a448260b7481993e119 ""
(generated) (generated)

4
übung_1/agt_übung_1.fls
View file

@ -174,9 +174,13 @@ OUTPUT agt_übung_1.pdf
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INPUT /usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmmi10.tfm INPUT /usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmmi10.tfm
INPUT /usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmmi7.tfm INPUT /usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmmi7.tfm
INPUT ./aufgabe_1.tex
INPUT ./msb-eps-converted-to.pdf INPUT ./msb-eps-converted-to.pdf
INPUT ./msb-eps-converted-to.pdf INPUT ./msb-eps-converted-to.pdf
INPUT ./dfs-eps-converted-to.pdf INPUT ./dfs-eps-converted-to.pdf
INPUT ./dfs-eps-converted-to.pdf INPUT ./dfs-eps-converted-to.pdf
INPUT ./aufgabe_2.tex
INPUT /usr/local/texlive/2025/texmf-var/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map INPUT /usr/local/texlive/2025/texmf-var/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map
INPUT ./aufgabe_3.tex
INPUT ./aufgabe_4.tex
INPUT ./agt_übung_1.aux INPUT ./agt_übung_1.aux

147
übung_1/agt_übung_1.log
View file

@ -1,8 +1,7 @@
This is LuaHBTeX, Version 1.22.0 (TeX Live 2025) (format=lualatex 2026.2.8) 20 APR 2026 14:58 This is LuaHBTeX, Version 1.22.0 (TeX Live 2025) (format=lualatex 2026.2.8) 20 APR 2026 18:53
restricted system commands enabled. restricted system commands enabled.
**/home/never/Documents/InNa/26_SoSe/AGT/agt_exercise/übung_1/agt_übung_1.tex **agt_übung_1.tex
(./agt_übung_1.tex
(/home/never/Documents/InNa/26_SoSe/AGT/agt_exercise/übung_1/agt_übung_1.tex
LaTeX2e <2025-11-01> LaTeX2e <2025-11-01>
L3 programming layer <2026-01-19> L3 programming layer <2026-01-19>
Lua module: luaotfload 2024-12-03 v3.29 Lua based OpenType font support Lua module: luaotfload 2024-12-03 v3.29 Lua based OpenType font support
@ -40,8 +39,7 @@ Inserting `luaotfload.aux.fixup_fontdata' in `luaotfload.patch_font_unsafe'.
Inserting `luaotfload.aux.set_capheight' in `luaotfload.patch_font'. Inserting `luaotfload.aux.set_capheight' in `luaotfload.patch_font'.
Inserting `luaotfload.aux.set_xheight' in `luaotfload.patch_font'. Inserting `luaotfload.aux.set_xheight' in `luaotfload.patch_font'.
Inserting `luaotfload.rewrite_fontname' in `luaotfload.patch_font'. Inserting `luaotfload.rewrite_fontname' in `luaotfload.patch_font'.
Inserting `tracingstacklevels' in `input_level_string'. (/home/never/texmf/tex/ Inserting `tracingstacklevels' in `input_level_string'. (./ngexrcs.cls
latex/ngexrcs/ngexrcs.cls
Document Class: ngexrcs 2021/12/21 ADS Exercise class Document Class: ngexrcs 2021/12/21 ADS Exercise class
(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/koma-script/scrartcl.cls (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/koma-script/scrartcl.cls
Document Class: scrartcl 2026/02/02 v3.49.2 KOMA-Script document class (article Document Class: scrartcl 2026/02/02 v3.49.2 KOMA-Script document class (article
@ -190,9 +188,8 @@ Package typearea Info: These are the values describing the layout:
(typearea) \footskip = 47.6pt (typearea) \footskip = 47.6pt
(typearea) \baselineskip = 13.6pt (typearea) \baselineskip = 13.6pt
(typearea) on input line 15. (typearea) on input line 15.
(/home/never/texmf/tex/latex/ngutils/ngutils.sty (./ngutils.sty
Package: ngutils 2025/12/24 Never's LaTeX utils Package: ngutils 2025/12/24 Never's LaTeX utils
(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2026/01/26 v26.2 The multilingual framework for LuaLaTeX, pdfLaT Package: babel 2026/01/26 v26.2 The multilingual framework for LuaLaTeX, pdfLaT
eX and XeLaTeX eX and XeLaTeX
@ -1301,7 +1298,7 @@ Class scrartcl Info: loading recommended package `bookmark'.
(scrartcl) `bookmarkpackage=false' before \begin{document} and (scrartcl) `bookmarkpackage=false' before \begin{document} and
(scrartcl) you can avoid this message adding: (scrartcl) you can avoid this message adding:
(scrartcl) \usepackage{bookmark} (scrartcl) \usepackage{bookmark}
(scrartcl) before \begin{document} on input line 7. (scrartcl) before \begin{document} on input line 9.
(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/bookmark/bookmark.sty (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/bookmark/bookmark.sty
Package: bookmark 2023-12-10 v1.31 PDF bookmarks (HO) Package: bookmark 2023-12-10 v1.31 PDF bookmarks (HO)
@ -1316,26 +1313,26 @@ Package babel Info: 'ngerman' activates 'german' shorthands.
) )
\openout1 = agt_übung_1.aux \openout1 = agt_übung_1.aux
LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 7. LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 9.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 7. LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 7. LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 9.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 7. LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 7. LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 9.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 7. LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 7. LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 9.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 7. LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 7. LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 9.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 7. LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
LaTeX Font Info: Checking defaults for TU/lmr/m/n on input line 7. LaTeX Font Info: Checking defaults for TU/lmr/m/n on input line 9.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 7. LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 7. LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 9.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 7. LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 7. LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 9.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 7. LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 7. LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 9.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 7. LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
LaTeX Font Info: Checking defaults for PU/pdf/m/n on input line 7. LaTeX Font Info: Checking defaults for PU/pdf/m/n on input line 9.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 7. LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/context/base/mkii/supp-pdf.mkii (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/context/base/mkii/supp-pdf.mkii
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] [Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
@ -1360,61 +1357,43 @@ File: epstopdf-sys.cfg 2010/07/13 v1.3 Configuration of (r)epstopdf for TeX Liv
e e
)) ))
\c@lstlisting=\count345 \c@lstlisting=\count345
Package tocbasic Info: setting babel extension for `lol' on input line 7. Package tocbasic Info: setting babel extension for `lol' on input line 9.
\scr@dte@lstlisting@maxnumwidth=\skip73 \scr@dte@lstlisting@maxnumwidth=\skip73
Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 7. Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 9.
\g__cctab_next_cctab=\catcodetable17 \g__cctab_next_cctab=\catcodetable17
Package epstopdf Info: Source file: <msb.eps>
(epstopdf) date: 2026-04-17 13:13:37 (./aufgabe_1.tex
(epstopdf) size: 5913 bytes <figures.pdf, id=5, page=1, pagebox=artbox, 141.52875pt x 146.7111pt>
(epstopdf) Output file: <msb-eps-converted-to.pdf> File: figures.pdf Graphic file (type pdf)
(epstopdf) date: 2026-04-17 13:14:32 <use figures.pdf, page 1>
(epstopdf) size: 3745 bytes Package luatex.def Info: figures.pdf , page1 used on input line 26.
(epstopdf) Command: <repstopdf --outfile=msb-eps-converted-to.pdf m (luatex.def) Requested size: 71.69984pt x 74.32692pt.
sb.eps> <figures.pdf, id=7, page=2, pagebox=artbox, 141.52875pt x 144.25092pt>
(epstopdf) \includegraphics on input line 35. File: figures.pdf Graphic file (type pdf)
Package epstopdf Info: Output file is already uptodate. <use figures.pdf, page 2>
<msb-eps-converted-to.pdf, id=5, 140.525pt x 145.54375pt> Package luatex.def Info: figures.pdf , page2 used on input line 41.
File: msb-eps-converted-to.pdf Graphic file (type pdf) (luatex.def) Requested size: 71.69984pt x 73.08054pt.
<use msb-eps-converted-to.pdf>
Package luatex.def Info: msb-eps-converted-to.pdf used on input line 35.
(luatex.def) Requested size: 71.69984pt x 74.25963pt.
Package epstopdf Info: Source file: <dfs.eps>
(epstopdf) date: 2026-04-20 14:56:57
(epstopdf) size: 5896 bytes
(epstopdf) Output file: <dfs-eps-converted-to.pdf>
(epstopdf) date: 2026-04-20 14:57:58
(epstopdf) size: 3721 bytes
(epstopdf) Command: <repstopdf --outfile=dfs-eps-converted-to.pdf d
fs.eps>
(epstopdf) \includegraphics on input line 50.
Package epstopdf Info: Output file is already uptodate.
<dfs-eps-converted-to.pdf, id=7, 140.525pt x 143.53625pt>
File: dfs-eps-converted-to.pdf Graphic file (type pdf)
<use dfs-eps-converted-to.pdf>
Package luatex.def Info: dfs-eps-converted-to.pdf used on input line 50.
(luatex.def) Requested size: 71.69984pt x 73.23537pt.
LaTeX Warning: `h' float specifier changed to `ht'. LaTeX Warning: `h' float specifier changed to `ht'.
[1 ) (./aufgabe_2.tex [1
{/usr/local/texlive/2025/texmf-var/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}<./msb-eps {/usr/local/texlive/2025/texmf-var/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}<./figures
-converted-to.pdf>] [2<./dfs-eps-converted-to.pdf>] .pdf>] [2<./figures.pdf>]) (./aufgabe_3.tex
Overfull \hbox (2.21837pt too wide) in paragraph at lines 153--155 Overfull \hbox (2.21837pt too wide) in paragraph at lines 19--21
\TU/TeXGyrePagella(0)/m/n/10.95 kann nicht exis-tie-ren, da die Sum-me al-ler Kn \TU/TeXGyrePagella(0)/m/n/10.95 kann nicht exis-tie-ren, da die Sum-me al-ler Kn
o-ten mit un-ge-ra-dem Grad o-ten mit un-ge-ra-dem Grad
[] []
) (./aufgabe_4.tex
Overfull \hbox (2.02118pt too wide) in paragraph at lines 163--169 Overfull \hbox (2.02118pt too wide) in paragraph at lines 3--9
\TU/TeXGyrePagella(0)/m/n/10.95 wer-den, wenn be-stimm-te an-de-re Auf-ga-ben ab \TU/TeXGyrePagella(0)/m/n/10.95 wer-den, wenn be-stimm-te an-de-re Auf-ga-ben ab
- ge-schlos-sen sind. - ge-schlos-sen sind.
[] []
[3] [4] (./agt_übung_1.aux) [3]) [4] (./agt_übung_1.aux)
*********** ***********
LaTeX2e <2025-11-01> LaTeX2e <2025-11-01>
L3 programming layer <2026-01-19> L3 programming layer <2026-01-19>
@ -1422,30 +1401,28 @@ L3 programming layer <2026-01-19>
) )
Here is how much of LuaTeX's memory you used: Here is how much of LuaTeX's memory you used:
22908 strings out of 476076 22934 strings out of 476076
100000,1373583 words of node,token memory allocated 100000,1373583 words of node,token memory allocated
3192 words of node memory still in use: 3192 words of node memory still in use:
61 hlist, 40 vlist, 38 rule, 9 local_par, 78 glue, 31 kern, 9 penalty, 20 gly 61 hlist, 40 vlist, 38 rule, 9 local_par, 78 glue, 31 kern, 9 penalty, 20 gly
ph, 213 attribute, 62 glue_spec, 107 attribute_list, 1 write nodes ph, 213 attribute, 62 glue_spec, 107 attribute_list, 1 write nodes
avail lists: 1:1,2:655,3:303,4:4,5:433,6:52,7:4721,8:16,9:476,10:4,11:478 avail lists: 1:1,2:649,3:303,4:4,5:433,6:52,7:4721,8:16,9:473,10:4,11:478
45020 multiletter control sequences out of 65536+600000 45027 multiletter control sequences out of 65536+600000
118 fonts using 28706879 bytes 115 fonts using 27962135 bytes
122i,8n,114p,11297b,574s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s 122i,8n,114p,11236b,574s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s
</usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/opentype/public/euler-math/Euler-Math. </usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/opentype/public/euler-math/Euler-Math.
otf></usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/opentype/public/tex-gyre/texgyrepa otf></usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/opentype/public/tex-gyre/texgyrepa
gella-italic.otf></usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/opentype/public/tex-g gella-italic.otf></usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/opentype/public/euler
yre/texgyrepagella-regular.otf></usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/opentyp -math/Euler-Math.otf></usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/opentype/public/t
e/public/euler-math/Euler-Math.otf></usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/ope ex-gyre/texgyrepagella-regular.otf></usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/ope
ntype/public/tex-gyre/texgyrepagella-regular.otf></usr/local/texlive/2025/texmf- ntype/public/tex-gyre/texgyrepagella-bold.otf></usr/local/texlive/2025/texmf-dis
dist/fonts/opentype/public/tex-gyre/texgyrepagella-bold.otf></usr/local/texlive/ t/fonts/opentype/public/tex-gyre/texgyreheros-regular.otf></usr/local/texlive/20
2025/texmf-dist/fonts/opentype/public/tex-gyre/texgyreheros-regular.otf></usr/lo 25/texmf-dist/fonts/opentype/public/tex-gyre/texgyreheros-bold.otf></usr/local/t
cal/texlive/2025/texmf-dist/fonts/opentype/public/tex-gyre/texgyreheros-bold.otf exlive/2025/texmf-dist/fonts/opentype/public/tex-gyre/texgyreheros-italic.otf>
></usr/local/texlive/2025/texmf-dist/fonts/opentype/public/tex-gyre/texgyreheros Output written on agt_übung_1.pdf (4 pages, 49645 bytes).
-italic.otf>
Output written on agt_übung_1.pdf (4 pages, 48895 bytes).
PDF statistics: 132 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) PDF statistics: 126 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
94 compressed objects within 1 object stream 84 compressed objects within 1 object stream
17 named destinations out of 1000 (max. 131072) 17 named destinations out of 1000 (max. 131072)
33 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 100000000) 33 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 100000000)

BIN
übung_1/agt_übung_1.pdf
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Binary file not shown.

BIN
übung_1/agt_übung_1.synctex.gz
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Binary file not shown.

173
übung_1/agt_übung_1.tex
View file

@ -1,5 +1,7 @@
\documentclass{ngexrcs} \documentclass{ngexrcs}
\usepackage{hyperref} \usepackage{hyperref}
\setkeys{Gin}{pagebox=artbox, width=0.2\textwidth}
\title{1. Übungsblatt} \title{1. Übungsblatt}
\subject{Algorithmische Graphentheorie} \subject{Algorithmische Graphentheorie}
\author{Jasper Gude \and Pia Röttgers} \author{Jasper Gude \and Pia Röttgers}
@ -7,173 +9,10 @@
\begin{document} \begin{document}
\maketitle \maketitle
\points[\qquad]{20} \points[\qquad]{20}
\section{Spannbäume \& Breitensuche}
Sei $G = \tup{V, E}$ ein zusammenhängender Graph mit Kantengewichten $w: E \to \NN$
und $s \in V \deg$ ein ausgezeichneter Knoten.
\begin{tasks}
\item
\begin{quote}
Wenn $w(e) = 1$ für alle $e \in E$, dann ist der Breitensuchbaum mit
Quelle $s$ ein minimaler Spannbaum.
\end{quote}
Die Breitensuche berechnet in diesem
Fall den kürzesten Weg von jedem Knoten zum Knoten $s$, also den
Breitensuchbaum. Dieser spannt also einen minimalen Spannbaum auf.
\points{2}
\item
\begin{quote}
Wenn $w(e) = 1$ für alle $e \in E$, dann ist jeder minimale Spannbaum
von $G$ ein Breitensuchbaum mit Quelle $s$.
\end{quote}
Falsch, siehe \autoref{fig:msb}.
\points{2}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.2\textwidth]{msb.eps}
\caption{$\pi$-Zeiger des Breitensuchbaums und MSB blau hinterlegt.}
\label{fig:msb}
\end{figure}
\item
\begin{quote}
Wenn $w(e) \in \set{1, 2, 3}$ für alle $e \in E$, dann ist jeder minimale
Spannbaum von $G$ ein Tiefensuchbaum mit Quelle $s$.
\end{quote}
Falsch, siehe \autoref{fig:dfs}. Der Minimale Spannbaum kann kein Tiefensuchbaum
sein.
\points{2}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.2\textwidth]{dfs.eps}
\caption{Tiefensuchbaum in orange und MSB blau hinterlegt.}
\label{fig:dfs}
\end{figure}
\end{tasks}
\section{Kreissuche}
\begin{tasks}
\item
Wähle Startknoten $s$ und füge ihn in eine neue Queue $Q$ ein.
Nimm den vordersten Knoten $u$ aus $Q$ und füge seine noch nicht entdeckten (weißen)
Nachbarn ein und färbe sie grau. Wenn einer der Nachbarn schon entdeckt wurde,
also grau ist, gibt es einen Kreis in $G$.
Markiere den Knoten $u$ als abgeschlossen ($black$) und entferne ihn aus $Q$
Wiederhole den Schritt solange bis $Q$ leer ist.
% \begin{pseudocode}[caption=Hello World Algorithmische]
% EinfacherKreis(|Graph| $G$, |Vertex| $s$)
% Initialize($G$, $s$)
% $Q \gets$ new Queue
% $Q.$Enqueue($s$)
% $t_1 \gets nil$
% $t_2 \gets s$
% // Comment
% while $Q \neq \emptyset$ do
% $u \gets Q.$Dequeue
% $t_1 \gets t_2$
% $t_2 \gets u$
% foreach $v \in Adj[u]$ do
% if $v.color = white$ then
% $Q.$Enqueue($v$)
% $u.color \gets black$
% if $t_1 = t_2$ then
% return $true$
% else
% return $false$
% \end{pseudocode}
\begin{algorithm}[h]
\centering
\begin{algorithmic}
\alg{EinfacherKreis}{Graph $G$, Vertex $s$} \+ \\
\alg{Initialize}{$G$, $s$} \com{So wie in der Breitensuche} \\
$Q \gets$ new \alg{Queue}{} \\
$Q.$\alg{Enqueue}{$s$} \\
while $Q \neq \emptyset$ do \+ \\
$u \gets Q.$\alg{Dequeue}{} \\
$u.color \gets gray$ \\
foreach $v \in Adj[u]$ do \+ \\
\com{Füge alle noch nicht entdeckten Knoten ein} \\
if $v.color = white$ then \+ \\
$v.color \gets gray$ \\
$Q.$\alg{Enqueue}{$v$} \- \\
\com{Wenn ein Knoten schon entdeckt wurde, gibt es einen Kreis} \\
else return $true$ \- \\
$u.color \gets black$ \- \\
return $false$
\end{algorithmic}
\end{algorithm}
\points{4}
\item
Dadurch, dass wir nur Knoten
einfügen, die noch nicht entdeckt wurden, können wir nie auf dem selben Pfad
zu einem Knoten kommen. Das heißt, wenn wir einen schon entdeckten Knoten
finden, haben wir einen Kreis im Graphen gefunden.
Der Algorithmus kann aufgrund der Struktur des Graphens (kein Multigraph,
keine Selbstkanten) nur Kreise der Länge mindestens 3 finden.
Jeder Knoten wird nur einmal in die Queue eingefügt und nur einmal herausgenommen.
Somit läuft der Algorithmus in $\Oh(\abs{V})$.
\points{2}
\item
Solange es weiße Knoten im Graphen gibt, wählen wir einen neuen Startknoten
für diese Zusammenhangskomponente. Als Ausgabe geben wir ein Array von
Tupeln $\tup{s_i, c_i}$ zurück, wobei $s_i$ der Startknoten einer
Zusammenhangskomponente und $c_i \in \set{true, false}$ der Wahrheitswert, ob
ein Kreis in der Komponente existiert.
\points{1}
\end{tasks}
\section{Eulerwege}
\begin{quote}
Sei $G = \tup{V, E}$ ein ungerichteter, zusammenhängender Graph. Dann gilt: $G$ hat genau
dann einen Eulerweg, wenn die Anzahl an Knoten $v \in V$, für die gilt, dass $deg(v)$
ungerade ist, genau $0$ oder $2$ ist.
\end{quote}
\begin{itemize}
\item[$\seilpmi$]
1. Fall: $0$ Knoten mit ungeradem Grad. Nach dem Satz in der Vorlesung
gibt es einen Eulerkreis. Im Eulerweg sind also Start- und Endknoten
identisch.
2. Fall: $2$ Knoten mit ungeradem Grad. Die beiden Knoten bilden den Start-
und Endknoten des Eulerwegs. Die Kante die den Eulerkreis schließen würde
braucht genau zwei Knoten, zu denen sie inzident ist. Nehmen wir diese Kante
weg, ergibt sich eine ungerader Grad an diesen beiden Knoten.
\item[$\implies$]
Ein Graph mit ungerader Anzahl an Knoten mit ungeradem Grad kann nicht
existieren, da die Summe aller Knoten mit ungeradem Grad gerade ist.
Für alle anderen Fälle gilt, wenn ein Knoten ungeraden Grad hat, dann gibt
es keinen Weg aus dem Knoten heraus, wenn man hineingelaufen ist.
\end{itemize}
\points{4}
\section{Graphmodellierung}
\begin{quote}
Sie betreuen ein Projekt, das sich aus vielen vordefinierten Aufgaben zusammensetzt.
Manche Aufgaben können erst erledigt werden, wenn bestimmte andere Aufgaben ab-
geschlossen sind. Für jede Aufgabe ist vorher genau bekannt, von welchen Aufgaben
sie abhängt. Ihr Projektteam kann immer nur eine Aufgabe gleichzeitig bearbeiten und
eine angefangene Aufgabe wird immer abgeschlossen bevor eine neue Aufgabe begon-
nen werden kann.
\end{quote}
Wir modellieren das Problem als gerichteten Graph.
Die Aufgaben sind Knoten. Jede Aufgabe hat Kanten zu den Aufgaben, die von ihr
abhängen.
Eine Reihenfolge können wir mithilfe einer Topologischen Sortierung finden.
\points{3}
\input{aufgabe_1.tex}
\input{aufgabe_2.tex}
\input{aufgabe_3.tex}
\input{aufgabe_4.tex}
\end{document} \end{document}

6
übung_1/aufgabe_1.tex
View file

@ -7,7 +7,7 @@ und $s \in V$ ein ausgezeichneter Knoten.
\item \item
\begin{quote} \begin{quote}
Wenn $w(e) = 1$ für alle $e \in E$, dann ist der Breitensuchbaum mit Wenn $w(e) = 1$ für alle $e \in E$, dann ist der Breitensuchbaum mit
Quelle $s$ ein minimaler Spannbaum Quelle $s$ ein minimaler Spannbaum.
\end{quote} \end{quote}
Die Breitensuche berechnet in diesem Die Breitensuche berechnet in diesem
Fall den kürzesten Weg von jedem Knoten zum Knoten $s$, also den Fall den kürzesten Weg von jedem Knoten zum Knoten $s$, also den
@ -23,7 +23,7 @@ Falsch, siehe \autoref{fig:msb}.
\points{2} \points{2}
\begin{figure}[h] \begin{figure}[h]
\centering \centering
\includegraphics[width=0.2\textwidth]{msb.eps} \includegraphics[page=1]{figures.pdf}
\caption{$\pi$-Zeiger des Breitensuchbaums und MSB blau hinterlegt.} \caption{$\pi$-Zeiger des Breitensuchbaums und MSB blau hinterlegt.}
\label{fig:msb} \label{fig:msb}
\end{figure} \end{figure}
@ -38,7 +38,7 @@ sein.
\points{2} \points{2}
\begin{figure}[h] \begin{figure}[h]
\centering \centering
\includegraphics[width=0.2\textwidth]{dfs.eps} \includegraphics[page=2]{figures}
\caption{Tiefensuchbaum in orange und MSB blau hinterlegt.} \caption{Tiefensuchbaum in orange und MSB blau hinterlegt.}
\label{fig:dfs} \label{fig:dfs}
\end{figure} \end{figure}

78
übung_1/aufgabe_2.tex Normal file
View file

@ -0,0 +1,78 @@
\section{Kreissuche}
\begin{tasks}
\item
Wähle Startknoten $s$ und füge ihn in eine neue Queue $Q$ ein.
Nimm den vordersten Knoten $u$ aus $Q$ und füge seine noch nicht entdeckten (weißen)
Nachbarn ein und färbe sie grau. Wenn einer der Nachbarn schon entdeckt wurde,
also grau ist, gibt es einen Kreis in $G$.
Markiere den Knoten $u$ als abgeschlossen ($black$) und entferne ihn aus $Q$
Wiederhole den Schritt solange bis $Q$ leer ist.
% \begin{pseudocode}[caption=Hello World Algorithmische]
% EinfacherKreis(|Graph| $G$, |Vertex| $s$)
% Initialize($G$, $s$)
% $Q \gets$ new Queue
% $Q.$Enqueue($s$)
% $t_1 \gets nil$
% $t_2 \gets s$
% // Comment
% while $Q \neq \emptyset$ do
% $u \gets Q.$Dequeue
% $t_1 \gets t_2$
% $t_2 \gets u$
% foreach $v \in Adj[u]$ do
% if $v.color = white$ then
% $Q.$Enqueue($v$)
% $u.color \gets black$
% if $t_1 = t_2$ then
% return $true$
% else
% return $false$
% \end{pseudocode}
\begin{algorithm}[h]
\centering
\begin{algorithmic}
\alg{EinfacherKreis}{Graph $G$, Vertex $s$} \+ \\
\alg{Initialize}{$G$, $s$} \com{So wie in der Breitensuche} \\
$Q \gets$ new \alg{Queue}{} \\
$Q.$\alg{Enqueue}{$s$} \\
while $Q \neq \emptyset$ do \+ \\
$u \gets Q.$\alg{Dequeue}{} \\
$u.color \gets gray$ \\
foreach $v \in Adj[u]$ do \+ \\
\com{Füge alle noch nicht entdeckten Knoten ein} \\
if $v.color = white$ then \+ \\
$v.color \gets gray$ \\
$Q.$\alg{Enqueue}{$v$} \- \\
\com{Wenn ein Knoten schon entdeckt wurde, gibt es einen Kreis} \\
else return $true$ \- \\
$u.color \gets black$ \- \\
return $false$
\end{algorithmic}
\end{algorithm}
\points{4}
\item
Dadurch, dass wir nur Knoten
einfügen, die noch nicht entdeckt wurden, können wir nie auf dem selben Pfad
zu einem Knoten kommen. Das heißt, wenn wir einen schon entdeckten Knoten
finden, haben wir einen Kreis im Graphen gefunden.
Der Algorithmus kann aufgrund der Struktur des Graphens (kein Multigraph,
keine Selbstkanten) nur Kreise der Länge mindestens 3 finden.
Jeder Knoten wird nur einmal in die Queue eingefügt und nur einmal herausgenommen.
Somit läuft der Algorithmus in $\Oh(\abs{V})$.
\points{2}
\item
Solange es weiße Knoten im Graphen gibt, wählen wir einen neuen Startknoten
für diese Zusammenhangskomponente. Als Ausgabe geben wir ein Array von
Tupeln $\tup{s_i, c_i}$ zurück, wobei $s_i$ der Startknoten einer
Zusammenhangskomponente und $c_i \in \set{true, false}$ der Wahrheitswert, ob
ein Kreis in der Komponente existiert.
\points{1}
\end{tasks}

26
übung_1/aufgabe_3.tex Normal file
View file

@ -0,0 +1,26 @@
\section{Eulerwege}
\begin{quote}
Sei $G = \tup{V, E}$ ein ungerichteter, zusammenhängender Graph. Dann gilt: $G$ hat genau
dann einen Eulerweg, wenn die Anzahl an Knoten $v \in V$, für die gilt, dass $deg(v)$
ungerade ist, genau $0$ oder $2$ ist.
\end{quote}
\begin{itemize}
\item[$\seilpmi$]
1. Fall: $0$ Knoten mit ungeradem Grad. Nach dem Satz in der Vorlesung
gibt es einen Eulerkreis. Im Eulerweg sind also Start- und Endknoten
identisch.
2. Fall: $2$ Knoten mit ungeradem Grad. Die beiden Knoten bilden den Start-
und Endknoten des Eulerwegs. Die Kante die den Eulerkreis schließen würde
braucht genau zwei Knoten, zu denen sie inzident ist. Nehmen wir diese Kante
weg, ergibt sich eine ungerader Grad an diesen beiden Knoten.
\item[$\implies$]
Ein Graph mit ungerader Anzahl an Knoten mit ungeradem Grad kann nicht
existieren, da die Summe aller Knoten mit ungeradem Grad gerade ist.
Für alle anderen Fälle gilt, wenn ein Knoten ungeraden Grad hat, dann gibt
es keinen Weg aus dem Knoten heraus, wenn man hineingelaufen ist.
\end{itemize}
\points{4}

16
übung_1/aufgabe_4.tex Normal file
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@ -0,0 +1,16 @@
\section{Graphmodellierung}
\begin{quote}
Sie betreuen ein Projekt, das sich aus vielen vordefinierten Aufgaben zusammensetzt.
Manche Aufgaben können erst erledigt werden, wenn bestimmte andere Aufgaben ab-
geschlossen sind. Für jede Aufgabe ist vorher genau bekannt, von welchen Aufgaben
sie abhängt. Ihr Projektteam kann immer nur eine Aufgabe gleichzeitig bearbeiten und
eine angefangene Aufgabe wird immer abgeschlossen bevor eine neue Aufgabe begon-
nen werden kann.
\end{quote}
Wir modellieren das Problem als gerichteten Graph.
Die Aufgaben sind Knoten. Jede Aufgabe hat Kanten zu den Aufgaben, die von ihr
abhängen.
Eine Reihenfolge können wir mithilfe einer Topologischen Sortierung finden.
\points{3}

BIN
übung_1/figures.pdf Normal file
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BIN
übung_1/msb-eps-converted-to.pdf
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Binary file not shown.

180
übung_1/msb.eps
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@ -1,180 +0,0 @@
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%%BeginProlog
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/Q { grestore } bind def
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/J { setlinecap } bind def
/j { setlinejoin } bind def
/M { setmiterlimit } bind def
/d { setdash } bind def
/m { moveto } bind def
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/c { curveto } bind def
/h { closepath } bind def
/re { exch dup neg 3 1 roll 5 3 roll moveto 0 rlineto
0 exch rlineto 0 rlineto closepath } bind def
/S { stroke } bind def
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/BDC { mark 3 1 roll /BDC pdfmark } bind def
/EMC { mark /EMC pdfmark } bind def
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/TJ {
{
dup
type /stringtype eq
{ show } { -0.001 mul 0 cairo_font_matrix dtransform rmoveto } ifelse
} forall
currentpoint cairo_store_point
} bind def
/cairo_selectfont { cairo_font_matrix aload pop pop pop 0 0 6 array astore
cairo_font exch selectfont cairo_point_x cairo_point_y moveto } bind def
/Tf { pop /cairo_font exch def /cairo_font_matrix where
{ pop cairo_selectfont } if } bind def
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/cairo_font_matrix exch def dup 4 get exch 5 get cairo_store_point
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cairo_store_point /cairo_font where { pop cairo_selectfont } if } bind def
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/cairo_data_source {
CairoDataIndex CairoData length lt
{ CairoData CairoDataIndex get /CairoDataIndex CairoDataIndex 1 add def }
{ () } ifelse
} def
/cairo_flush_ascii85_file { cairo_ascii85_file status { cairo_ascii85_file flushfile } if } def
/cairo_image { image cairo_flush_ascii85_file } def
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%%BeginSetup
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%!FontType1-1.1 f-0-0 1.0
11 dict begin
/FontName /f-0-0 def
/PaintType 0 def
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readonly def
currentdict end
currentfile eexec
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cleartomark
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1 0 0 -1 0 147 cm q
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7 28 m 71 140 l S
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11.59 26.281 m 18.961 26.004 l 17.324 21.641 l h
11.59 26.281 m S
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76.398 140 m f*
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0 g
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Q q
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ET
Q q
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Q Q
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691
übung_1/msb.ipe
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@ -1,691 +0,0 @@
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<text matrix="1 0 0 1 64 16" transformations="translations" pos="192 384" stroke="dark gray" type="label" width="14.6568" height="10.6632" depth="0.24" halign="center" valign="baseline" style="math">\pi</text>
<text matrix="1 0 0 1 8 -72" transformations="translations" pos="192 384" stroke="dark gray" type="label" width="14.6568" height="10.6632" depth="0.24" halign="center" valign="baseline" style="math">\pi</text>
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76
übung_1/ngexrcs.cls Normal file
View file

@ -0,0 +1,76 @@
% vim: set filetype:tex
% Identification %
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% Handle options %
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% \renewcommand\labelenumi{\theenumi)}
% \renewcommand\labelenumii{\theenumii.}
%\renewcommand\labelenumiii{\theenumiii.}
%\renewcommand\labelenumiv{\theenumiv.}
% Use sansfont for all title elements
\addtokomafont{titlehead}{\sffamily}
\addtokomafont{subject}{\normalfont \sffamily \itshape}
\addtokomafont{title}{\sffamily}
\addtokomafont{subtitle}{\sffamily}
\addtokomafont{author}{\sffamily}
\addtokomafont{date}{\sffamily}
\addtokomafont{publishers}{\sffamily}
% Use serif font for headings
\addtokomafont{disposition}{\rmfamily}
% Let sections be formated as in: Aufgabe 1 -- Section title
\renewcommand*{\sectionformat}{Aufgabe \thesection\autodot\enskip--\enskip}
% Let points of an exercise be printed as in: [__ / 2]
\newkomafont{points}{\sffamily}
\newcommand\points[2][\quad]{\marginline{\framebox{{\usekomafont{points}#1 \textbf{/} #2}}}}
\newenvironment{tasks}[1][1em]
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\renewcommand\labelenumi{\theenumi)}
\renewcommand\labelenumii{\theenumii.}
\begin{enumerate}
}{%
\end{enumerate}
}

150
übung_1/ngutils.sty Normal file
View file

@ -0,0 +1,150 @@
\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\ProvidesPackage{ngutils}[2025/12/24 Never's LaTeX utils]
\RequirePackage[ngerman]{babel}
\RequirePackage{graphicx}
\RequirePackage{tabularx}
\RequirePackage{booktabs}
\RequirePackage{listings}
\lstnewenvironment{pseudocode}[1][] %defines the algorithm listing environment
{
\renewcommand{\lstlistingname}{Algorithmus}
\lstset{ %this is the stype
mathescape=true,
columns=fullflexible,
basicstyle=\normalfont,
identifierstyle=\scshape,
keywordstyle=\bfseries,
keywords={, new, if, then, else, while, for, in, to, up, down, foreach, do, return},
commentstyle=\itshape,
comment=[l]//,
delim=[is][\normalfont]{|}{|},
tabsize=3,
frame=tb,
framerule=1pt,
#1 % this is to add specific settings to an usage of this environment (for instnce, the caption and referable label)
}
}
{}
\newcommand{\seilpmi}{\ensuremath{\Longleftarrow}}
\newcommand\NN{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand\ZZ{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand\QQ{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand\RR{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand\CC{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\newcommand\PP{\ensuremath{\mathbb{P}}}
\newcommand\Oh{\ensuremath{\mathcal{O}}}
\newcommand\oh{\ensuremath{\scriptstyle{\mathcal{O}}}}
\newcommand\Eh{\ensuremath{\mathrm{E}}}
\newcommand\Var{\ensuremath{\mathrm{Var}}}
\newcommand\parens[1]{\ensuremath{\left(#1\right)}}
\newcommand\brackets[1]{\ensuremath{\left[#1\right]}}
\newcommand\braces[1]{\ensuremath{\left\{#1\right\}}}
\newcommand\angled[1]{\ensuremath{\left\langle#1\right\rangle}}
\newcommand\tup[1]{\parens{#1}}
\newcommand\ivl[1]{\brackets{#1}}
\newcommand\set[1]{\braces{#1}}
\newcommand\arr[1]{\angled{#1}}
\newcommand\abs[1]{\ensuremath{\lvert#1\rvert}}
\newcommand\norm[1]{\ensuremath{\lVert#1\rVert}}
\newcommand\ceil[1]{\ensuremath{\lceil#1\rceil}}
\newcommand\floor[1]{\ensuremath{\lfloor#1\rfloor}}
\newcommand\alg[2]{{\normalfont\scshape#1}{\normalfont(#2)}}
\newcommand\algt[1]{{\normalfont\scshape#1}}
\newcommand\com[1]{{\normalfont\itshape/\!\!/ #1}}
\newenvironment{algorithmic}[1][1em]{
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\bfseries
\begin{tabbing}
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}{%
\end{tabbing}
\end{minipage}
}
% \newenvironment{algorithm}[1][1em]{
% \begin{center}
% \begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth}
% \bfseries
% \begin{tabbing}
% \hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\kill
% }{%
% \end{tabbing}
% \end{minipage}
% \end{center}
% }
\makeatletter
\newcounter{algorithm}% the counter
\renewcommand*\thealgorithm{\arabic{algorithm}}% the default format for the counter
\newcommand*\fps@algorithm{tbp}% default floating options
\newcommand*\ftype@algorithm{4}% float type number, needs to be a power of 2; % \ftype@figure=1, \ftype@table=2
\newcommand*\ext@algorithm{loa}% extension of file for the list of schemes
\newcommand*\fnum@algorithm{\algorithmname\nobreakspace\thealgorithm}% used in caption
\newcommand*\algorithmname{Algorithmus}% the name
\newcommand*\listalgorithmname{Algorithmenverzeichnis}% the name of the list
\newenvironment{algorithm}{\@float{algorithm}}{\end@float}% the environment
\newenvironment{algorithm*}{\@dblfloat{algorithm}}{\end@dblfloat}% the starred % version for twocolumn documents
\newcommand*\listofalgorithms{% the list of schemes
\section*{\listalgorithmname}
\@mkboth
{\MakeUppercase\listalgorithmname}
{\MakeUppercase\listalgorithmname}
\@starttoc{\ext@algorithm} }
\let\l@algorithm\l@figure % layout of list is the same as for figures
\makeatother
\newlength{\theoremskip}
\setlength{\theoremskip}{6em}
\newcommand{\theoremfont}{\normalfont\bfseries}
\newcommand{\definitionfont}{\normalfont\bfseries}
\newenvironment{theoremic}[2][\theoremfont]{
{#1 #2}
\hfill
\begin{minipage}[t]{\the\dimexpr\linewidth-\theoremskip\relax}
}{
\end{minipage}
}
\newenvironment{theorem}{
\begin{theoremic}{Satz.}
}{
\end{theoremic}
}
\newenvironment{lemma}{
\begin{theoremic}{Lemma.}
}{
\end{theoremic}
}
\newenvironment{proof}{
\begin{theoremic}{Beweis.}
}{
\end{theoremic}
}
\newenvironment{definition}{
\begin{theoremic}[\definitionfont]{Definition.}
}{
\end{theoremic}
}
\newenvironment{example}{
\begin{theoremic}[\definitionfont]{Beispiel.}
}{
\end{theoremic}
}