aufgabe 2

übung_2/aufgabe_2.tex

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-\section{Straßenreparatur mittels Linearer Programmierung und Flüssen}
+% vim: ft=tex
+\section{Straßenreparatur mittels Linearer Programmierung und Flüssen}
+\begin{quote}
+Gegeben sei ein ungerichteter Graph $G = \tup{V, E}$, der ein Verkehrsnetzwerk darstellt,
+wobei jeder Knoten $v \in V$ eine Stadt repräsentiert und jede Kante $e = \set{u, v}$ eine Straße
+zwischen den Städten $u$ und $v$.
+
+Die Straßen müssen erneuert werden. Dabei sind für jede Straße $e \in E$ Reparaturkosten
+	nötig, die durch eine Funktion $r: E \to~\RR_{\geq 0}$ gegeben sind. Zusätzlich hat jede Stadt $v \in V$
+	nur ein begrenztes Budget, das durch eine Funktion $B: V \to \RR_{\geq 0}$ gegeben ist.
+\end{quote}
+\begin{tasks}
+\item Seien $u_e, v_e \in \RR_{\geq 0}$ die Reparaturbeträge, die Stadt $u$ und $v$ für eine inzidente Straße
+	$e$ zahlen. Um $u_e, v_e$ zu erhalten gehen wir durch die Adjazenzliste und vermerken pro Kante die inzidenten Knoten.
+	Dann müssen wir folgendes lineares Programm lösen.
+
+	Zielfunktion:
+	$$
+	\argmax \sum_{e \in E} u_e + v_e
+	$$
+
+	Für alle $e \in E$ gilt
+	$$
+	r(e) - (u_e + v_e) \leq 0
+	$$
+	Damit stellen wir sicher, dass die vollen Reparaturkosten bezahlt werden.
+
+	Für alle $u \in V$ und zu $u$ inzidente Kanten $I$ gilt
+	$$
+	\sum_{e \in I} u_e \leq B(u)
+	$$
+	Damit stellen wir sicher, dass das Budget einer Stadt nicht überschritten wird.
+
+	Wenn die Zielfunktion den Wert der Summe aller Reparaturkosten hat, haben
+	wir eine Lösung gefunden.
+	\points{3}
+
+\item Sei $x_e \in \set{0, 1}$ der Indikator, ob Stadt $x$ die Reparaturkosten der inzidenten Straße $e$ trägt. Dann müssen wir folgendes ganzahlig lineares Programm lösen.
+
+	Zielfunktion: 
+	$$
+	\argmax \sum_{e \in E} x_e
+	$$
+
+	Für alle $e \in E$ und deren inzidente Knoten $x, y$ gilt
+	$$
+	x_e + y_e \leq 1
+	$$
+	Damit Stellen wir sicher, dass nur eine Stadt die Reparaturkosten einer Staße trägt.
+
+	Für alle $x \in V$ und zu $x$ inzidente Kanten $I$ gilt
+	$$
+	\sum_{e \in I} x_e \cdotp r(x) \leq B(x)
+	$$
+	Damit stellen wir sicher, dass das Budget einer Stadt nicht überschritten wird.
+	
+	Wenn die Zielfunktion den Wert der Anzahl an Knoten hat, haben wir eine
+	Lösung gefunden.
+	\points{2}
+
+\item
+	Das Problem kann wie in \autoref{fig:flow} als Fluss modelliert werden.
+	
+	\begin{itemize}
+	\item Dabei ist $s$ der Startknoten und $t$ der Zielknoten.
+
+	\item Die Kantenkapazitäten von $s$ zu den Städten $v_i \in V$ ist das Budget $B(v_i)$.
+	
+	\item Die Kantenkapazitäten von $v_i$ zu den Straßen $e_j \in E$ müssen jeweils
+	größer als $r(e_j)$ sein. Jede Straße $e_j$ hat genau zwei eingehende Kanten von
+	den beiden inzidenten Städten.
+	
+	\item Die Kantenkapazitäten von $e_j$ zu $t$ sind die Reparaturkosten $r(e_j)$
+	\end{itemize}
+	Wenn ein zulässiger Fluss alle in $t$ eingehenden Kanten füllt, dann gibt es
+	eine Lösung für das Problem.
+
+	Das Modell ist korrekt, da
+	\begin{itemize}
+	\item Die Beiträge, die eine Stadt $v_i$ leisten kann von den
+		eingehenden Kantenkapazitäten limitiert werden.
+	\item Die Straßen $e_j$ genau zwei eingehende Kanten haben.
+	\item Die Reparaturkosten einer Straße $e_j$ von den ausgehenden Kantenkapazitäten
+		limitiert werden.
+	\end{itemize}
+
+	\points{4}
+	\begin{figure}[h]
+		\centering
+		\includegraphics[page=2, width=0.8\textwidth]{figures.pdf}
+		\caption{Das Problem als Flussproblem. Die blauen Knoten sind Städte und die orangenen Straßen.}
+		\label{fig:flow}
+	\end{figure}
+
+
+\end{tasks}