Aufgabe 3 und 2

übung_3/aufgabe_3.tex

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 \section{Metrisches TSP}
 \begin{tasks}
 	\item
+	Der Algorithmus für Minimale Spannbäume von Prim fügt in jedem Schritt die den Schnitt
+	kreuzende Kante zum Baum hinzu, deren Kosten unter allen anderen kreuzenden Kanten minimal ist.
+	
+	\algt{CompleteHamilton} fügt denselben Knoten hinzu, da der Knoten $v$ nicht in $C$ liegt, also den Schnitt kreuzt und den kleinsten Abstand zu den Knoten in $C$ hat.
+	\points{2}
+	
 	\item
+	In jedem Schritt von \algt{CompleteHamilton} wird eine Kante $wu$ in $C$ durch zwei Kanten
+	$wv$ und $vu$ ersetzt. Da $wv$ die minimale kreuzende Kante ist und $G$ die Dreiecksungleichung erfüllt, ist $c(v, u) \leq c(u, w) + c(w, v)$ und ist somit nicht länger als der
+	doppelte Minimale Spannbaum, der analog zu \algt{CompleteHamilton} berechnet wird.
+	Damit gilt wieder:
+	$$
+	c(Kreis) = 2 \cdotp c(MSB) \leq 2 \cdotp OPT
+	$$
+	Da eine TSP-Tour mit einer Kante weniger ein Spannbaum ist.
+	\points{4}
+	
+	
 \end{tasks}