Aufgabe 3 und 2

übung_3/aufgabe_2.tex

@@ -11,6 +11,8 @@
 	Das dürfen wir, da die TSP-Tour diese Kante nie enthalten wird, weil es einen Weg gibt, der 
 	kürzer ist und alle drei Knoten enthält. Der Graph bleibt zusammenhängend, da wir für jede 
 	Menge $T$ nur eine Kante löschen.
+	\points{3}
+	
 	\item
 	Da wir den Graphen jetzt auf einen metrischen reduziert haben, können wir ähnlich wie in
 	der Vorlesung vorgehen.
@@ -20,6 +22,9 @@
 	$$
 	c(Kreis) = 2 \cdotp c(MSB) \leq 2 \cdotp OPT
 	$$
+	Da eine TSP-Tour mit einer Kante weniger ein Spannbaum ist.
+	
 	Da wir Knoten und Kanten mehrfach benutzen dürfen, ist dieser Kreis eine 2-Approximation für
 	TSP mit Wiederholungen.
+	\points{3}
 \end{tasks}

übung_3/aufgabe_3.tex

@@ -1,5 +1,22 @@
 \section{Metrisches TSP}
 \begin{tasks}
 	\item
+	Der Algorithmus für Minimale Spannbäume von Prim fügt in jedem Schritt die den Schnitt
+	kreuzende Kante zum Baum hinzu, deren Kosten unter allen anderen kreuzenden Kanten minimal ist.
+	
+	\algt{CompleteHamilton} fügt denselben Knoten hinzu, da der Knoten $v$ nicht in $C$ liegt, also den Schnitt kreuzt und den kleinsten Abstand zu den Knoten in $C$ hat.
+	\points{2}
+	
 	\item
+	In jedem Schritt von \algt{CompleteHamilton} wird eine Kante $wu$ in $C$ durch zwei Kanten
+	$wv$ und $vu$ ersetzt. Da $wv$ die minimale kreuzende Kante ist und $G$ die Dreiecksungleichung erfüllt, ist $c(v, u) \leq c(u, w) + c(w, v)$ und ist somit nicht länger als der
+	doppelte Minimale Spannbaum, der analog zu \algt{CompleteHamilton} berechnet wird.
+	Damit gilt wieder:
+	$$
+	c(Kreis) = 2 \cdotp c(MSB) \leq 2 \cdotp OPT
+	$$
+	Da eine TSP-Tour mit einer Kante weniger ein Spannbaum ist.
+	\points{4}
+	
+	
 \end{tasks}