Aufgabe 2 und 3 fertig

übung_1/agt_übung_1.tex

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+\documentclass{ngexrcs}
+\usepackage{hyperref}
+\title{1. Übungsblatt}
+\subject{Algorithmische Graphentheorie}
+\author{Jasper Gude \and Pia Röttgers}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\points[\qquad]{20}
+\section{Spannbäume \& Breitensuche}
+Sei $G = \tup{V, E}$ ein zusammenhängender Graph mit Kantengewichten $w: E \to \NN$
+und $s \in V \deg$ ein ausgezeichneter Knoten.
+
+\begin{tasks}
+
+\item
+\begin{quote}
+Wenn $w(e) = 1$ für alle $e \in E$, dann ist der Breitensuchbaum mit
+Quelle $s$ ein minimaler Spannbaum.
+\end{quote}
+Die Breitensuche berechnet in diesem
+Fall den kürzesten Weg von jedem Knoten zum Knoten $s$, also den
+Breitensuchbaum. Dieser spannt also einen minimalen Spannbaum auf.
+\points{2}
+
+\item
+\begin{quote}
+Wenn $w(e) = 1$ für alle $e \in E$, dann ist jeder minimale Spannbaum
+von $G$ ein Breitensuchbaum mit Quelle $s$.
+\end{quote}
+Falsch, siehe \autoref{fig:msb}.
+\points{2}
+\begin{figure}[h]
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.2\textwidth]{msb.eps}
+	\caption{$\pi$-Zeiger des Breitensuchbaums und MSB blau hinterlegt.}
+	\label{fig:msb}
+\end{figure}
+
+\item 
+\begin{quote}
+Wenn $w(e) \in \set{1, 2, 3}$ für alle $e \in E$, dann ist jeder minimale
+Spannbaum von $G$ ein Tiefensuchbaum mit Quelle $s$.
+\end{quote}
+Sei $w(e) = 1$ für
+alle $e \in E$ so gilt das Gegenbeispiel von oben. Also ist die Aussage
+falsch.
+\points{2}
+
+\end{tasks}
+
+\section{Kreissuche}
+\begin{tasks}
+\item
+Wähle Startknoten $s$ und füge ihn in eine neue Queue $Q$ ein.
+
+Nimm den vordersten Knoten $u$ aus $Q$ und füge seine noch nicht entdeckten (weißen)
+Nachbarn ein und färbe sie grau. Wenn einer der Nachbarn schon entdeckt wurde,
+also grau ist, gibt es einen Kreis in $G$.
+Markiere den Knoten $u$ als abgeschlossen ($black$) und entferne ihn aus $Q$
+
+Wiederhole den Schritt solange bis $Q$ leer ist.
+
+% \begin{pseudocode}[caption=Hello World Algorithmische]
+% EinfacherKreis(|Graph| $G$, |Vertex| $s$)
+% 	Initialize($G$, $s$)
+% 	$Q \gets$ new Queue
+% 	$Q.$Enqueue($s$)
+% 	$t_1 \gets nil$
+% 	$t_2 \gets s$
+% 	// Comment
+% 	while $Q \neq \emptyset$ do
+% 		$u \gets Q.$Dequeue
+% 		$t_1 \gets t_2$
+% 		$t_2 \gets u$
+% 		foreach $v \in Adj[u]$ do
+% 			if $v.color = white$ then
+% 				$Q.$Enqueue($v$)
+% 		$u.color \gets black$
+% 	if $t_1 = t_2$ then
+% 		return $true$
+% 	else
+% 		return $false$
+% \end{pseudocode}
+
+\begin{algorithm}[h]
+\centering
+\begin{algorithmic}
+\alg{EinfacherKreis}{Graph $G$, Vertex $s$} \+ \\
+	\alg{Initialize}{$G$, $s$} \com{So wie in der Breitensuche} \\
+	$Q \gets$ new \alg{Queue}{} \\
+	$Q.$\alg{Enqueue}{$s$} \\
+	while $Q \neq \emptyset$ do \+ \\
+		$u \gets Q.$\alg{Dequeue}{} \\
+		$u.color \gets gray$ \\
+		foreach $v \in Adj[u]$ do \+ \\
+\com{Füge alle noch nicht entdeckten Knoten ein} \\
+			if $v.color = white$ then  \+ \\
+				$v.color \gets gray$ \\
+				$Q.$\alg{Enqueue}{$v$} \- \\
+\com{Wenn ein Knoten schon entdeckt wurde, gibt es einen Kreis} \\
+			else return $true$  \- \\
+	$u.color \gets black$ \- \\
+	return $false$
+\end{algorithmic}
+\end{algorithm}
+
+\item
+	Dadurch, dass wir nur Knoten
+	einfügen, die noch nicht entdeckt wurden, können wir nie auf dem selben Pfad
+	zu einem Knoten kommen. Das heißt, wenn wir einen schon entdeckten Knoten
+	finden, haben wir einen Kreis im Graphen gefunden.
+
+	Der Algorithmus kann aufgrund der Struktur des Graphens (kein Multigraph,
+	keine Selbstkanten) nur Kreise der Länge mindestens 3 finden.
+
+	Jeder Knoten wird nur einmal in die Queue eingefügt und nur einmal herasgenommen.
+	Somit läuft der Algorithmus in $\Oh(\abs{V})$.
+
+\item
+	Solange es weiße Knoten im Graphen gibt, wählen wir einen neuen Startknoten
+	für diese Zusammenhangskomponente. Als Ausgabe geben wir ein Array von
+	Tupeln $\tup{s_i, c_i}$ zurück, wobei $s_i$ der Startknoten einer 
+	Zusammenhangskomponente und $c_i \in \set{true, false}$ der Wahrheitswert, ob
+	ein Kreis in der Komponente existiert.
+\end{tasks}
+
+\section{Eulerwege}
+\begin{quote}
+Sei $G = \tup{V, E}$ ein ungerichteter, zusammenhängender Graph. Dann gilt: $G$ hat genau
+dann einen Eulerweg, wenn die Anzahl an Knoten $v \in V$, für die gilt, dass $deg(v)$
+ungerade ist, genau $0$ oder $2$ ist.
+\end{quote}
+
+\begin{itemize}
+	\item[$\seilpmi$]
+		1. Fall: $0$ Knoten mit ungeradem Grad. Nach dem Satz in der Vorlesung
+		gibt es einen Eulerkreis. Im Eulerweg sind also Start- und Endknoten
+		identisch.
+
+		2. Fall: $2$ Knoten mit ungeradem Grad. Die beiden Knoten bilden den Start-
+		und Endknoten des Eulerwegs. Die Kante die den Eulerkreis schließen würde
+		braucht genau zwei Knoten, zu denen sie inzident ist. Nehmen wir diese Kante
+		weg, ergibt sich eine ungerader Grad an diesen beiden Knoten.
+	\item[$\implies$]
+		Ein Graph mit ungerader Anzahl an Knoten mit ungeradem Grad kann nicht
+		existieren, da die Summe aller Knoten mit ungeradem Grad gerade ist.
+
+		Für alle anderen Fälle gilt, wenn ein Knoten ungeraden Grad hat, dann gibt
+		es keinen Weg aus dem Knoten heraus, wenn man hineingelaufen ist.
+	
+\end{itemize}
+
+
+\section{Graphmodellierung}
+
+\end{document}