aufgabe 2

übung_6/aufgabe_1.tex

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-\newcommand{\OPT}{\mathrm{OPT}}
-
-\section{Paarungen (Matchings) in Bäumen}
+\section{LP-Runden}
 \begin{tasks}
-\item
-	\label{1a}
-	Ein Baum ist ein kreisfreier, zusammenhängender Graph. Ein Baum besitzt ein
-	perfektes Matching genau dann, wenn die Anzahl der Knoten gerade ist und
-	jedes Blatt keine Geschwisterknoten hat.
-
-	Die Anzahl der Knoten muss gerade sein, da in einem perfekten Match\-ing jeder
-	Knoten mit einem anderen gematcht wird.
-	
-	Jedes Blatt muss Einzelblatt sein, da der Elternknoten nur mit einem Blatt
-	gematcht werden kann.
-
-	Also ist ein perfektes Matching im Baum eindeutig, da jedes Blatt mit seinem
-	Elternknoten gematcht werden muss. Diese Kante $uv$ ist sicher im Matching enthalten und alle zu $u$ oder $v$ inzidenten Kanten können aus dem Baum gelöscht werden. So entsteht ein neues Blatt, für das
-	die selbe Regel gilt.
-	\points{3}
-\item
-	Der \autoref{alg:treematching} berechnet ein größtes Matching.
-
-	Der Algorithmus ist korrekt, da der Baum $T$ entweder ein perfektes Matching
-	enthält und somit ein perfektes Matching berechnet (Siehe \autoref{1a}),
-	oder I dont fucking know.
-
-	Die Laufzeit für \algt{Initialize} liegt in $\Oh(V)$, da sich der Baum in linearer Zeit augmentieren lässt und es $\abs{V} - 1$ viele Kanten gibt.
-
-	Die Laufzeit für \algt{MatchaTeeRec} liegt in $\Oh(V)$. Der Algorithmus wird genau
-	einmal für jeden Knoten aufgerufen. Wenn eine Kante zum
-	Match\-ing hinzugefügt wird, werden die Knoten und Kanten aus dem Baum gelöscht
-	die nicht mehr zum Matching hinzugefügt werden können und somit
-	nicht mehr bearbeitet werden.
-
-	Also liegt auch \algt{MatchaTee} in $\Oh(V)$.
-	\begin{algorithm}
-		\centering
-		\caption{Größtes Matching in Bäumen}
-		\label{alg:treematching}
-		\begin{algorithmic}
-			\alg{MatchaTee}{$T = \tup{V, E}$} \+ \\
-				\com{Den ungerichten Baum zu einem gerichteten Baum mit $parent$ und} \\
-				\com{$children$ pro Knoten und einer Wurzel $root$ augmentieren.} \\
-				\alg{Initialize}{$T$} \\
-				return \alg{MatchaTeeRec}{$T$, $T.root$} \- \\
-				\\
-			\alg{MatchaTeeRec}{$T$, $r$} \+ \\
-				\com{Rekursiv für die Kinder aufrufen} \\
-				$m \gets \emptyset$ \\
-				foreach $v \in r.children$ do \+ \\
-				$m \gets m \cup \text{\alg{MatchaTeeRec}{T, v}}$ \- \\
-				\com{Wenn Knoten Blatt ist, dann die Kante zum Elternknoten hinzufügen.} \\
-				if $r \neq nil$ and $deg(r) = 1$ then \+ \\
-					\com{Die Knoten und inzidente Kanten aus dem Baum entfernen.} \\
-					$T \gets T \setminus \set{r.parent, r.parent.children}$ \\
-					$m \gets m \cup \set{\set{r, r.parent}}$ \- \\
-				return $m$
-		\end{algorithmic}
-	\end{algorithm}
-	\points{5}
-\item
-	Wenn eine Kante $rv$ zu einem Matching hinzugefügt wird, kann keine zu $v$
-	inzidente Kante hinzugefügt werden. Das müssen wir auch bei unserem dynamischen
-	Programm beachten.
-	\[
-		\OPT(r) = \max_{v \in r.children}
-		\begin{cases}
-		rv + \sum_{i \in v.children} \OPT(i) + \sum_{j \in r.children \setminus v} \OPT(j) \\
-		\sum_{k \in r.children} \OPT(k)
-		\end{cases}
-	\]
-	
-	Der Algorithmus hält sich an die Eigenschaften eines Matchings, also ist
-	er korrekt.
-
-	Der Algorithmus probiert alle Kindknoten von $r$ aus. Geht man mit $r$ im Baum von 
-	unten nach oben sind das also höchstens so viele Iterationen wie, Knoten im Baum
-	existieren (ohne die Blätter). Also läuft das Dynamische Programm in $\Oh(V)$.
-
-	\points{5}
+	\item
+	\item
+	\item
 \end{tasks}