übungsblatt 7

übung_7/aufgabe_3.tex

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+\section{Matchings in allgemeinen Graphen}
+\begin{tasks}
+	\item
+
+\begin{pseudocode}
+Matchings($G = \tup(V, E)$)
+	$M = \emptyset$
+	$visited =$ |Array von $False$ der Größe| $|V|$ // Markiert gematchte Knoten
+
+	for $e$ in $E$ do
+		if $\neg visited[u] \wedge \neg visited[v]$ then
+			$M = M \cup \{e\}$
+			$visited[u] = True$
+			$visited[v] = True$
+	return $M$
+\end{pseudocode}
+		
+	Angenommen $M$ wäre erweiterbar (d.h. es gibt eine Kante $\{u,v\}$ mit $u,v \notin V(M)$). Dann wurden sowohl $u$ als auch $v$ während des Algorithmus beim Durchlaufen der Kante $\{u,v\}$ als frei angesehen und wäre somit der Menge $M$ hinzugefügt worden. Das ist eine Widerspruch.
+
+	\textbf{Laufzeit:}
+
+	Initialisierung des Arrays: $\Oh(V)$
+
+	Schleife: Jede Kante wird genau einmal betrachtet ($\Oh(V)$) und die Überprüfung und Markierung passieren in $\Oh(1)$. Also insgesamt $\Oh(E)$
+
+	Das ergibt eine Gesamtlaufzeit von $\Oh(V+E)$
+	\points{3}
+	\item
+	\points{2}
+
+	\item
+	Sei $M$ das vom Algorithmus berechnete maximale Matching und $M^*$ das optimale maximale Matching.
+
+	Für jede Kante $e^*=\{u,v\}\in M^*$ gilt: mindestens einer der beiden Knoten $u$ oder $v$ muss über eine Kante aus $M$ abgedeckt werden, sonst wäre der $M$ nicht nicht-erweiterbar.
+
+	Eine Kante aus $M$ hat genau zwei Endknoten und kann daher höchstens zwei verschiedene Kanten aus $M^*$ ,,blockieren``. Da alle Kanten in $M^*$ disjunkt sind kann man daraus folgern:
+	\[
+		\abs{M^*} \leq 2\cdot \abs{M} \implies \abs{M} \geq \frac{1}{2} \abs{M^*}
+	\]
+	Somit ist der Algorithmus aus der Teilaufgabe a) eine 1/2 Approximation für ein optimales Matching.
+	
+	\points{3}
+	\item
+	
+	Zielfunktion:
+	\[
+		\arg\min \sum_{e\in E} x_e \geq 1
+	\]
+	Entscheidungsvariablen: für jede Kante $e\in E$:
+	\[
+		x_e\in\{0,1\}\quad \forall e\in E
+	\]
+	Die Variable nimmt den Wert 1 an, wenn die Kante im Matching M ist und 0 falls sie das nicht ist.
+
+	Nebenbedingungen:
+	\begin{enumerate}
+		\item 
+		Matching: Jeder Knoten darf von maximal einer Matching-Kante berührt werden
+		\[
+			\forall v\in V \colon \sum_{e\in \delta(v)}x_e\leq1
+		\]
+		$\delta(v)$ ist die Menge aller Kanten welche an $v$ anliegen
+		\item Nicht-Erweiterbarkeit: Für jede Kante $\{u,v\}$ muss die Summe der Matching-Kanten an $u$ und $v$ mindestens 1 sein
+			\[
+				\forall \{u,v\} \in E \colon \sum_{e \in \delta(u)} x_e + \sum_{e' \in \delta(v)} x_e' \geq 1
+			\]
+		$\delta(v)$ ist die Menge aller Kanten welche an $v$ anliegen. Äquivalent für $\delta(u)$.
+	\end{enumerate}
+	\points{3}
+	\item
+	\points{2}
+\end{tasks}