Aufgabe 3

übung_7/aufgabe_2.tex

@@ -2,13 +2,14 @@
 \begin{quote}
 	Sei $G = (V, E)$ ein gerichteter Graph und $s \in V$ ein ausgezeichneter Knoten.
 
-Ein Knoten $w$ ist von einem Knoten $v$ erreichbar, wenn es einen $v–w$-Weg gibt. Die Erreichbarkeitsmenge $E(v)$ eines Knotens $v$ ist die Menge aller Knoten, die von $v$ erreichbar
+	Ein Knoten $w$ ist von einem Knoten $v$ erreichbar, wenn es einen $v–w$-Weg (\autoref{fig:1}) gibt. Die Erreichbarkeitsmenge $E(v)$ eines Knotens $v$ ist die Menge aller Knoten, die von $v$ erreichbar
 sind. Insbesondere ist $v \in E(v)$.
 \end{quote}
 \begin{figure}
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{vw.jpg}
 	\caption{Volkswagen für den Raupengott!}
+	\label{fig:1}
 \end{figure}
 \begin{tasks}
 	\item
@@ -26,7 +27,8 @@ sind. Insbesondere ist $v \in E(v)$.
 und $\indeg(s) = 0$ gilt.
 
 		Da jeder Knoten erreicht werden kann und der induzierte Graph die
-		$s$-Wurzelbaum-Eigenschaften erfüllt, besitzt $G$ einen $s$-Wurzelspannbaum.
+		$s$-Wurzelbaum-Eigenschaften erfüllt, muss $G$ einen $s$-Wurzelspannbaum
+		besitzen.
 		\points{3}
 	\item
 		\begin{quote}
@@ -36,9 +38,9 @@ und $\indeg(s) = 0$ gilt.
 		
 		Siehe \autoref{fig:2a}.
 		\points{2}
-		\begin{figure}
+		\begin{figure}[h]
 			\centering
-			\includegraphics[page=1, width=0.2\textwidth]{figures.pdf}
+			\includegraphics[page=1, width=0.27\textwidth]{figures.pdf}
 			\caption{Gegenbeispiel mit zwei möglichen Wurzelspannbäumen.}
 			\label{fig:2a}
 		\end{figure}

übung_7/aufgabe_3.tex

@@ -1,72 +1,66 @@
-\section{Matchings in allgemeinen Graphen}
+\section{Wurzelspannbäume in azyklischen Graphen}
 \begin{tasks}
 	\item
-
-\begin{pseudocode}
-Matchings($G = \tup(V, E)$)
-	$M = \emptyset$
-	$visited =$ |Array von $False$ der Größe| $|V|$ // Markiert gematchte Knoten
-
-	for $e$ in $E$ do
-		if $\neg visited[u] \wedge \neg visited[v]$ then
-			$M = M \cup \{e\}$
-			$visited[u] = True$
-			$visited[v] = True$
-	return $M$
-\end{pseudocode}
-		
-	Angenommen $M$ wäre erweiterbar (d.h. es gibt eine Kante $\{u,v\}$ mit $u,v \notin V(M)$). Dann wurden sowohl $u$ als auch $v$ während des Algorithmus beim Durchlaufen der Kante $\{u,v\}$ als frei angesehen und wäre somit der Menge $M$ hinzugefügt worden. Das ist eine Widerspruch.
-
-	\textbf{Laufzeit:}
-
-	Initialisierung des Arrays: $\Oh(V)$
-
-	Schleife: Jede Kante wird genau einmal betrachtet ($\Oh(V)$) und die Überprüfung und Markierung passieren in $\Oh(1)$. Also insgesamt $\Oh(E)$
-
-	Das ergibt eine Gesamtlaufzeit von $\Oh(V+E)$
-	\points{3}
-	\item
+		Siehe \autoref{fig:3a}.
 		\points{2}
-
+		\begin{figure}
+			\centering
+			\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
+				\centering
+				\includegraphics[page=2, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
+			\end{subfigure}
+			\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
+				\centering
+				\includegraphics[page=3, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
+			\end{subfigure}
+			\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
+				\centering
+				\includegraphics[page=4, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
+			\end{subfigure}
+			\caption{Gegenbeispiel: Jarnik-Prim in orange und Optimale Lösung in blau.}
+			\label{fig:3a}
+		\end{figure}
 	\item
-	Sei $M$ das vom Algorithmus berechnete maximale Matching und $M^*$ das optimale maximale Matching.
+		Siehe \autoref{fig:3b}.
+		\points{2}
+		\begin{figure}
+			\centering
+			\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
+				\centering
+				\includegraphics[page=5, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
+			\end{subfigure}
+			\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
+				\centering
+				\includegraphics[page=6, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
+			\end{subfigure}
+			\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
+				\centering
+				\includegraphics[page=7, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
+			\end{subfigure}
+			\caption{Gegenbeispiel: Kruskal in orange und Optimale Lösung in blau.}
+			\label{fig:3b}
+		\end{figure}
+	\item
+		\alg*{DagMst} nimmt für jeden Knoten $v \in V \setminus \set{s}$ die
+		Kante $\tup{u, v}$ mit minimalen Kosten in den $s$-Wurzelspannbaum.
 		
-	Für jede Kante $e^*=\{u,v\}\in M^*$ gilt: mindestens einer der beiden Knoten $u$ oder $v$ muss über eine Kante aus $M$ abgedeckt werden, sonst wäre der $M$ nicht nicht-erweiterbar.
+		Dadurch, dass genau eine Kante $\tup{u, v}$ für jeden Knoten $v$ ausgewählt
+		wird, hat jeder Knoten $\indeg(v) = 1$ und $\indeg(s) = 0$.
 
-	Eine Kante aus $M$ hat genau zwei Endknoten und kann daher höchstens zwei verschiedene Kanten aus $M^*$ ,,blockieren``. Da alle Kanten in $M^*$ disjunkt sind kann man daraus folgern:
-	\[
-		\abs{M^*} \leq 2\cdot \abs{M} \implies \abs{M} \geq \frac{1}{2} \abs{M^*}
-	\]
-	Somit ist der Algorithmus aus der Teilaufgabe a) eine 1/2 Approximation für ein optimales Matching.
+		Insbesondere ist auch jede Kante
+		eine ausgehende Kante eines anderen Knotens, und weil genau $n-1$ Kanten ausgewählt werden, muss der Graph $T$ zusammenhängend sein.
 		
+		Da $G$ azyklisch ist, muss auch $T$ azyklisch sein. Also berechnet \alg*{DagMst} einen $s$-Wurzelspannbaum.
 		\points{3}
-	\item
 
-	Zielfunktion:
-	\[
-		\arg\min \sum_{e\in E} x_e \geq 1
-	\]
-	Entscheidungsvariablen: für jede Kante $e\in E$:
-	\[
-		x_e\in\{0,1\}\quad \forall e\in E
-	\]
-	Die Variable nimmt den Wert 1 an, wenn die Kante im Matching M ist und 0 falls sie das nicht ist.
+	\item
+		Sei $T$ ein Wurzelspannbaum der von \alg*{DagMst} berechnet wurde.
 
-	Nebenbedingungen:
-	\begin{enumerate}
-		\item 
-		Matching: Jeder Knoten darf von maximal einer Matching-Kante berührt werden
+		Angenommen es gibt einen Wurzelspannbaum $T'$ der kleiner als $T$ ist,
+		dann muss es einen Knoten $v$ geben mit Eingangskantenkosten 
 		\[
-			\forall v\in V \colon \sum_{e\in \delta(v)}x_e\leq1
+			c(\tup{u', v}) < c(\tup{u, v})
 		\]
-		$\delta(v)$ ist die Menge aller Kanten welche an $v$ anliegen
-		\item Nicht-Erweiterbarkeit: Für jede Kante $\{u,v\}$ muss die Summe der Matching-Kanten an $u$ und $v$ mindestens 1 sein
-			\[
-				\forall \{u,v\} \in E \colon \sum_{e \in \delta(u)} x_e + \sum_{e' \in \delta(v)} x_e' \geq 1
-			\]
-		$\delta(v)$ ist die Menge aller Kanten welche an $v$ anliegen. Äquivalent für $\delta(u)$.
-	\end{enumerate}
-	\points{3}
-	\item
+		Das ist ein Widerspruch, da \alg*{DagMst} immer die minimale Kante $\tup{u, v}$ nimmt.
 		\points{2}
 \end{tasks}